X ^~~ CL

de l'intégration, l'intégrale sera égale à

. r^ dx

rt — £

M étant une quantité intermédiaire entre les valeurs ex-

VARIABLES IMÀGIXÀIBES. — PONCTIONS ELLIPTIQUES. 147

trêmesdu facteur 7^^ — et, par suite, sensiblement enraie à

la constante r; — • D'ailleurs on a

f"' dr I r f i___-|

= lojî — - — > si /: = i:

dans l'un et Tautre cas, Tintégrale tendra vers 00 pour

En second lieu, la fonction *— — peut être mise sous la

forme

xnf-m ( A';r'« -h B' a:"*-» -r- . . . ; x""^

^{x) tendant vers la constante -^,y lorsque jc tend vers x ;

soit \ une valeur finie, mais suffisamment grande de x

pour que F(a:) diffère peu de -ç,\ on aura

r- dx , . ,. r'^dxV{x)

I — ; ¥(x) = \iml ; , pour r. ~ ce \

™ais cette intégrale est égale à

dx

M étant une quantité intermédiaire entre les valeurs ex-

brèmes de F(^) et, par suite, différant peu de^^-* On a»

d'autre part,

Ç^ dx I / I ï \ • » >

= log7, SI m — /n = i;

l48 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIIl.

cette intégrale tendra donc vers oo , en même temps quer,, si m! — m ^ I .

Les deux conditions ci-dessus étant supposées satis-

faites, considérons la fonction =^— ^ et intéerrons-la sur un

contour formé d'un demi-cercle C de rayon R tendant vers rinfîni et du diamètre MN mené suivant l'axe des x\ on aura

Jf -i- / = 2irt(ii.i-H |JLîH-...)> C *^JMN

u< , [JL2, ... étant les résidus de ^-r-^ relatifs aux pôles contenus dans le contour. Maïs l'intégrale prise suivant le cercle tend vers zéro quand R tend vers oo , puisque

d'ailleurs

\\\£LZ =^-7—' = o, pour ^ = 00 ; cp(^)

d'où l'on conclut que l'intégrale cherchée est égale au

produit de 27ct par la somme des résidus relatifs aux pôles

f{z\ de =^-7—^ situés au-dessus de l'axe des x.

Appliquons à la fonction — -; elle a pour pôles

z = i^ z = — i; le premier seul est au-dessus de l'axe des X» Pour calculer le résidu correspondant, on posera

z = i-^ hj d'où

le résidu sera — 2(2«)~3 et l'intégrale

= — 27rt.2(2t)-3= -

Lco(l + ^')* - • V / 2

YARIABLES IHAGINÀIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l49