I .3.5. . .(2/1 — l) TT

^jS

formule qui se ramène aisément à la précédente. 97. Calculer Vintés^rale

/'•"' dx

Étudions la fonction f(z)= ; ; elle

pôle z = a el deux branchements 2 = 1, ^ = — 1 .

Fig. 10.

sidérons la région limitée : 1° par un cercle A de infini R ayant pour centre l'origine ; 2° par un petit < B entourant le point a; 3° par un contour C formé

YARIÀBLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l5l

réunion des deux conlours élémeDlaires des poiDls + i el — I {fig' lo). Dans la région comprise entre ces trois contours, f{z) est finie et continue; elle est d'ailleurs monodrome. Supposons en effet que^, partant d'un point âIq situé dans cette région, y revienne après avoir parcouru un certain contour; pour rester dans la région, ce contour n'aura enveloppé aucun des branchements ou les aura contournés tous les deux ; le radical y/i — z^ n'aura donc pas changé de signe. On aura, en conséquence, l'équation

Mais / = o, puisque Wmzf(^z) = o, pour ^ = oo ; en

second lieu, la formule connue

donnera

JÇ iTzi b" \/i"^=^*

Calculons enfin l'intégrale / ; elle se compose :

1° De l'intégrale

-^^ dx

suivant l'axe des oc ;

2° De l'intégrale prise au retour suivant le même axe et qui est égale à la précédente, car, d'une part, elle est prise en sens opposé et, d'autre part, le radical a changé de signe, puisqu'on a tourné autour d'un branchement ;

i^ Des intégrales prises suivant les petits cercles -h i et — I et qui sont nulles, puisque

\im{zz:^i)f(z) = Oy pour z = zhi.

l52 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TIII.

On a donc finalement l'équation

C dx . ^

J (ar — a)/i — i

ITZl

qui fournit l'intégrale cherchée.

Toutefois il reste à lever l'ambiguïté résultant des doubles signes des radicaux. A cet effet, fixons arbitrairement celle des deux valeurs du radical que nous prendrons en un point déterminé; admettons, par exemple, qu'au moment où z passe pour la première fois à l'origine en suivant le bord inférieur du contour C, le radical prenne la valeur + 1 : pour avoir celle des deux valeurs du radical y/i — a^ qui convient à cette détermination, nous tracerons une ligne L qui, partant de l'origine au-dessous de l'axe des x^ aboutisse en a sans traverser le contour C, et nous calculerons de proche en proche les valeurs du radi» cal sur cette ligne avec assez d'approximation pour pouvoir décider quelle est celle des deux valeurs de y/i — a^ qui doit être adoptée.

On remarquera que, si a est réel, cette discussion est inutile, car l'intégrale

•^' dx

sera réelle et aura un signe parfaitement déterminé d'avance, suivant le signe adopté pour y/i — x^ et suivant que a sera supérieur à -f- i ou inférieur à — i; a ne peut d'ailleurs être compris entre — i et -f- 1 , car l'intégrale serait indéterminée.