On demande de calculer V intégrale curviligne

r dz

J sJ^^V^

prise le long du contour OABCDAO {fig' 1 1), formé de

Vaxe des x depuis Vorigine jusquen A, du cercle

ABCDA et de la droite AO, les différentes parties du

contour étant parcourues successivement dans l'ordre

indiqué par les lettres qui les désignent. On suppose

que OA :=i et que la valeur initiale du radical est

prise égale à i .

(Paris, novembre i883, i*"® question.

La fonction à intégrer présente deux branchements

— i-t- i/S — I — i\/^ zo- ^ , z,= ,

tous les deux situés à la distance i de l'origine et, par

l54 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YIÏI.

conséquent, intérieurs au cercle considéré; il en résulte! qu'elle reprend la même valeur quand, partant de A, on y revient après avoir parcouru le cercle ABGDA ; donc les^ intégrales suivant OA et AO se détruisent et il reste Im-

légrale prise suivant le cercle de rayon 2 ou suivant un cercle de rayon plus grand, puisque, entre ces deux cercles, la fonction ne présente aucun point critique et qu'il y a un nombre pair de points critiques à l'intérieur du plus petit. Faisons donc z = Re'^ et considérons l'intégrale

y/R2e2/0^Re/6+/

si nous faisons tendre le rayon R vers l'infini, elle devient

id^ = 2Tzi:

c'est la valeur de l'intégrale proposée.