On considère les intégrales

r^ et f-^

dans lesquelles S <?^ S| désignent deux contours formés de la manière suivante :

Le contour S se compose de la droite OA {que Von Jait grandir indéfiniment) ^ du cercle de centre O et de rayon OA, enfin de la droite AO {fig- la). Le con-

Fij. 12.

tour S| est la limite des trois lacets qui enveloppent les points a, è, c, dont les affixes sont les racines de V équation -s'-f- 1 = o.

Etablir la relation entre les deux intégrales

n dx ^^ r^ dr

à laquelle on est conduit par cette comparaison,

(École Normale, juillet i883, a® question.)

l56 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TIII.

La fonction /(z) = -T=r présente trois branchements

et il n'y a aucun point critique entre les deux contours S et S« ; d'ailleurs ces deux contours ont leur point de départ commun; il en résulte que les intégrales / et / sont

égales, bien que ces contours renferment un nombre impair de branchements, si Ton prend la même valeur initiale pour/(.3), -I- I par exemple.

L'intégrale prise suivant le cercle de rayon infini est nulle, puisque

lim --7== = o, pour ^ = 00 ;

d'ailleurs

car la seconde intégrale est prise en sens opposé de la première et le radical a changé de signe, puisqu'on a tourné une fois autour d'un nombre impair de branchements; on

a donc

Jr dz /** dx

Pour calculer / , nous remarquerons d'abord que les

intégrales prises suivant chacun des petits cercles tendent

vers zéro en même temps que leur rayon, car on a, par

exemple.

lim(^ - a)/(z) = \\mU ^^^ ^^__ — =. o, pour ^ = a;

YARIÀBLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELUPTIQUBS. l5y

il en résulte que ron a

On obtient la première intégrale en posant

i-+-iV3

d'où

on a de même

d'où

Jr dz __ ^ /" dr

On en déduit, pour la relation cherchée,

dx r^ dr

101. Intégrer suivant le cercle C^ décrit de V origine comme centre, et à partir du point Zo, C expression

log^ 0\z) dz,

G (5) étant une fonction monodrome et holomorphe.

(École Normale, juillet 1884.)

On a identiquement

flo^z Q\z) dz = log-5 0{z) - f^^dz ;

l58 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YIII.

la fonction n'a qu'un pôle, l'origine, à l'intérieur du

cercle, et, comme elle est monodrome, le théorème du résidu intégral lui est applicable et donne

on a donc

/ --^-^az = 2 7tiG(o);

Je. ^

log^ G'{z) dz = iTzilGizQ)— 0(0)1

102. Trouver les périodes de la fonction u définie par Vintégrale

^ = I /(w — a){u — b) du.

Soient A et B les intégrales prises le long des contours élémentaires des points a et 6, relatifs au point Uq ; quelle que soit celle des trois valeurs initiales que l'on choisisse pour le radical, celui-ci reprendra la même valeur si l'on parcourt trois contours élémentaires. Les périodes de la fonction u s'obtiendront donc en formant toutes les combinaisons multiples des contours élémentaires pris trois à trois. Or un seul contour a décrit trois fois donne les intégrales

2 TT ï UTZi

A, Ae 8 = Aa, \e ^ = Aa^,

dont la somme est nulle et ne fournit, par suite, aucune période. Il reste donc les six combinaisons