A2B, ABA, AB2, B2A, BAB, BA
l'intégrale suivant A^B est
A-+-aA-+-a2B = (A — B)(i -4- a),
cellesuivant ABA est — a(A — B); enfin AB^ donne A — B.
VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l5g
Les trois autres intégrales, se déduisant des premières par permutation des lettres A et B, sont respectivement égales et de signes contraires.
Enfin, comme l'on a
A«B-hABA — AB2=o,
la fonction u n'a donc que deuxpériodes distinctes A — B et a(A — B). Il est clair d'ailleurs que, si l'on partait de l'une des deux autres déterminations du radical, A et B seraient simultanément multipliés, soit par a, soit par a^, et que l'on retomberait sur les mêmes périodes.
Remarquons, en terminant, que l'intégrale A, par exemple, est égale au produit par i — a de l'intégrale rectiligne prise de Uq à a.
103. Exprimer, à l'aide des fonctions elliptiques, la fonction z qui satisfait à V équation différentielle
les constantes étant réelles.
Cette équation est celle qui lie au temps t l'ordonnée verticale z du pendule conique.
Soit a<Cb <.c; posons
d'où
dz = i{b — a)uduy
posons encore =k^] k sera réel et plus petit que 1 ,
et il viendra
1^2. du
dt —
l6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE TIII.
, ,, , , ^ ff(c — a)
ou, SI 1 on représente par n la constante — - et si
l'on choisit convenablement l'origine du temps,
u = snnt; d'où enfin
z =. a-{-{b — a) sn* nt = acn^nt-+- b sn'/i^.
104. Développement de la fonction elliptique snu en série double.
Formons / — ^—^ — j u étant une constante, suivant un j z — u '
rectangle ayant l'origine pour centre et dont les côtés, parallèles aux axes, ne passent ni par les zéros, ni par les infinis de sn(<s); nous ferons d'ailleurs les dimensions de ce rectangle infiniment grandes. L'intégrale considérée peut s'écrire
or on a
dz = o;
en efTet, la fonction sn(^) est impaire : donc la fonction
est paire et, en des points symétriques de lorigme,
les éléments de l'intégrale sont égaux et de signes contraires.
Pour calculer la seconde intégrale, nous poserons
z = re'Q ;
on aura
or, soit [JL le maximum du module de u(i + e) sn^ et p le
VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l6l
minimum de r, le module de la seconde partie de Tinlégrale est inférieur à
et, comme p est infiniment grand, cette portion d'intégrale est nulle. Quant à la première partie, nous la décomposerons en huit autres, telles que dans chacune d'elles le rayon vecteur aille toujours en croissant ou toujours en décroissant; Tune quelconque de ces parties est nulle, car son module est inférieur à
En résumé. Ton a
Xsn z dz -=o',
donc la somme des résidus de la fonction -^ à Tintérieur
du rectangle d'intégration est nulle. Or cette fonction est infinie d'abord pour ^ = w, et le résidu correspondant est la fonction cherchée snw. Voyons maintenant les résidus qui répondent aux valeurs infinies de sn^; on a
z = iTnYL-\-{in -+-i)tK';
or
sn[2/nK-+- (2 71 -t-i)iK'-+- A]
le résidu de snz est donc — r — ; par suite, le résidu rela-
tif à Tun des infinis de la fonction -^ — ^ sera écral à
ViLLiÉ. — Compositions. ii
102 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Vlll.
Faisant la somme de tous ces résidus, on a o = snw -i-\ \
(— iV«
k\imK-\-(2n-\-i)iK'— mI'
formule qui donne snu par une série à double entréi dans laquelle on doit faire tendre les entiers M et N va: rinfini.
La même méthode ne s'appliquerait pas aux fonctio] paires cnu et Ani/, les intégrales
/cnz , r\nz az. I az z J z
n'étant plus nulles.
105. Développement des fonctions circulaires et des fonctions elliptiques en un produit d^un nombre infini de facteurs.
Soit f{z) une fonction monodrome n'ayant d'autrespoints critiques que des pôles et u une constante; si nous
considérons la fonction ^., '[ , — -: elle admet un premier
résidu '^ — - pour z = u. Les autres résidus sont de deux sortes, ceux qui proviennent des zéros àe f[z) sont égaux à — ^— » a étant un zéro et p son degré de multiplicité, et ceux qui répondent aux pôles de la même fonction ont pour valeur t — ^^? b étant un infini et q son degré de multiplicité; nous représenterons généralement par r le résidu de la fonction yr-^y pour la valeur z = a, qui rend cette fonction infinie. On aura
r f{z)dz .\f\u) V '' 1
VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l63
l'intégration étant faite suivant un contour fermé comprenant le point u et ne passant par aucun pôle de la fonction intégrée. Intégrons l'équation (i) par rapport à i/, suivant une ligne quelconque allant de Torigine au point w, mais évitant les pôles de la fonction, il viendra
- / \r\ log = 2Tri log -^-f. h > r log ;
d'où
JJ indiquant le produit de tous les facteurs ( ?-II~ j
fournis par les pôles tels que a, compris dans le contour. Posons, pour abréger,
(2) l = e 2TCI J f(z) s z "^
on aura la formule générale
La valeur de I se réduit à Funité si/(^) est une fonction paire ou impaire et si le contour d'intégration est un rectangle de dimensions infiniment grandes, ayant l'origine pour centre et ses côtés parallèles aux axes ; en effet, le
module de yr-^ reste fini et cette fonction est impaire ; or
on a
— log . = - -h — . (l -t- £).
Considérons donc l'intégrale
rf'iz) [u a2 -1
lG4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
la première partie
esl nulle, car, la fonction ~^ étant paire, les éléments i^
rintégralc se détruisent, à cause de la symétrie du conlou^ par rapport à l'origine; on démontrerait d'ailleurs, comm^ dans Texercice précédent, que la seconde partie est nulle C donc I = I et Ton a
(4) /('')=/(o)Il('-lX-
Fonctions circulaires , — L'exponentielle étant une fonction holomorphe, il en est de même de sin^ et de cos-s; les zéros de ces fonctions, qui sont simples, fournissent donc seuls des pôles de ' ... . • Les zéros de
