COS-S

sont donnés par l'équation

iz = — iz -{- log — i:= — iz -\- (im -i-î) tir, z = (im-[-i)-:

ce sont ceux que donne la Géométrie élémentaire; on a donc la formule

(5) cosw=TT I— '^^^ I

dans laquelle il faut donner à 2/n-l-i autant de valeurs positives que de valeurs négatives.

Cette formule peut encore s'écrire, en associant les fac-

VÀRIÀBEES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES. l65

leurs deux à deux,

(6) cos

La formule (4) doit être un peu modifiée pour donner le développement de sïnu; /(o) étant nul, il faut prendre pour limite inférieure de l'intégrale de l'équation (i) une quantité infiniment petite A, ce qui donne la formule

or a=^ irnzy et, pour m rr^t o, il y a lieu de considérer le facteur t > dont le produit par/(/i) z=: sinA a u pour limite. On a donc

(7) sinw = wTT

On arrive plus rapidement encore, en appliquant la for-

mule (4), à la fonction /( ^/) = ? qui admet les racines

a ■=—- rmz à l'exception de m = o.

Fonctions elliptiques, — Les formules (4) et (4 bis) conduisent de la même manière au développement des fonctions elliptiques; r = ihi, suivant qu'il s'agit d'un zéro ou d'un pôle de la fonction ; on arrive ainsi à

(8) sna = wl| ?

2mKH-(2/n-i)tK'

m el n devant prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, à l'exception, au numérateur, des valeurs

l66 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE YIII.

simultanées m = o, n ==: o, et à

(2m -+- i)K-+- 'xniK'

(9) cnM=JJ