VARIABLES IMAGINAIRES. — FONCTIONS ELLIPTIQUES

précède en fournit une autre. Les relations

sn(a-i- 2K) = — snw, sn(M -1- 2iK') — snw

moalrent que sn- w admet les deux périodes 2K et ii¥J , Les infinis sont doubles et donnés par la formule

a/nK-+-(2/i-+-i)tK';

si nous choisissons le rectangle d'intégration tel qu'il contienne l'infini iK', il n'en contient évidemment pas d'autre; ils'agitdonc de développer sn2(tK'-l- h) suivant les puissances croissantes de h. Or on a

sn2(tK'-i- h) = . ' , = '- ,

puisque sn/i est une fonction impaire dont la dérivée a l'unité pour limite; on en déduit

et, par suite,

Al = o, A2= T2

sn2M = I — -J-Z'UK'—u).

Cette expression peut se simplifier; si l'on prend, en effet, la dérivée logarithmique de la formule

— 2 11/5-4- UK'

Yi(z-\'iK)-ie **^ e(^),

on a

Yi'{z-^iK') e\z)

il- : — ;- — ^ — -i-const.;

H(^-i-tJv'> ^(^z)

rw / 'tri \ " ( '^ )

Z(iK — m) = — — > — - -h const., et enfin

2® F(w) == snwsn(;^ + a). Cette fonction a les deux périodes 2K et 21K'; ses pôles à l'intérieur du rectangle

précédemment défini sont îK! et iK' — a et les infinis correspondants sont simples. D'ailleurs la somme des deux résidus est nulle; il suffit donc de calculer celui qui est relatif au pôle tK'; or on a

d'où

k^sna k* sna

F(m) = I — AiZ(iK'— u) — BiZ(tK'— a — u),

ce que l'on peut écrire

snusn{u-ha) = C-h -,- -^-^-r — ^7 7 •

^ ^ k^sna lS{u) 6(aH-a)J

Pour déterminer la constante, je fais u = 0.

1 re'(a) e-(o)],

k^snaie{a) e(o)J' or 0'(o) = o : on a donc la formule

T reïa) e'(u) eYM-4-a)i

sn w sn ( M H- a) = j-:^ -- -i- -— — -— •

3" F(u) := cnucn(u-\- a). Les pôles de cette fonction , qui a les deux périodes 2K et aïK', correspondent aux mêmes valeurs de u que dans le cas précédent. Pour calculer le résidu relatif au pôle iK', formons F(iK.'-\-h); or on a

mais

d'où, en divisant,

cnrtK'-hA) T %(h^ I I

An A (Jiç^ H (A) ik sn/i^