CHAPITRE PREÎIIER
CINÉMATIQUE.
'• Le mouvement d\in point matériel est défini par
l^sformules
X = a -^bt -r- ct^y
z = a"-\-b''t-r-c''tK
indiquer la nature de la trajectoire et la grandeur ^^l'accélération à un instant quelconque,
( Paris, juillet 1878, 1^ question.) On a
''accélération
est constante de grandeur et de direction : donc la trajectoire est plane et par suite parabolique en général. Elle Jevientrectiligne si la vitesse initiale a la direction de l'ac- 'élération, c'est-à-dire si l'on a
Pour trouver les équations de la trajectoire, nous remplacerons le système des équations données parle suivant :
X = a -{- bt -\- ct^ \ c'x ~ cy = ad — ca! -\-{bc' — cb')t^ c'y c'z = a'c"— c'a"-^ {b'c"— c'b'')t\
d'où, en éliminant t^ les équations
c'x — cy — ac -f- ca __ c^y — c'z — a'c" h- c'a" bc' — cb' ~ ~ b'c" - c'b" '
c{c'x — cy — ac' -^ ca')^
= {x— a){bc'—cb'y — b(c'x — cy — ac' -~ ca')(bc' — cb'),
qui représentent la première un plan et la seconde un cylindre parabolique.
2. Une figure plane se meut dans son plan, de manière que deux de ses points A e^ B restent constamment sur deux droites rectangulaires fixes Ox et Oy ; on sait que le point A est animé d^un mouvement uniforme sur la droite Ox. On propose de déterminer, pour une époque quelconque :
i" La vitesse angulaire co autour du centre instantané;
2° U accélération d' un point quelconque de la droite AB, en grandeur et en direction,
(Paris, novembre 1879, i*^® question.)
Soient
V la vitesse constante de A sur O^;
a = OA, p = OB les coordonnées du centre instantané de
rotation ; a la longueur de la droite AB.
On a
tu :=
OB ^a'i — v^t^
CINÉMATIQUE. IjS
Nous déterminerons un point quelconque M de AB par la distance BM = l; ses coordonnées seront
on en tire
^x [ d^ d^y a—l dl? .
dt^ ~~ a dV^ ~ ^' li^ ~ ^oT 'dt^ '
l'accélération d'un point de AB est parallèle à O^^ On a
d'ailleurs
d'où
et
dt^ ^
dt^
3. Une circonférence roule sans glisser sur une circonférence fixe de même rayon et Von considère la courbe fermée décrite pendant un tour complet par un .point de la circonférence mobile. Trouver le centre de gravité de cette courbe, en supposant la densité en chaque point inversement proportionnelle au rayon de courbure de la courbe en ce point.
(École Normale, juillet 1882, 2® question.)
Si Ton prend pour axe des x {fig' i3) la tangente au point A de rebroussement de l'épicycloïde, on a, pour les coordonnées d'un point M de la courbe,
a? = 2 r cos 6 — /• cos 2 0, j^ = 2rsin6 — rsin2Ô.
La masse d'un élément MM' = ds de la courbe est
dm — ds - = kl,
£ étant Tangle de contingence, c'est-à-dire l'angle de MI avec M'V; or, si Ton prend FM^ =^ IM, l'angle de ces deux
droites est rfO; on a aussi M^FM'^^ -, d'où e = |û?9. Si donc on appelle m la masse d'un arc d'épicycloïde compté
Fig. i3.
à partir de A, X et Y les coordonnées de son centre de
irravite, on aura
d'où les équations
dm = 1^6;
0X= / ^6/Ô=rr(2sin6 — IsinaÔ),
6Y = / jâ?Ô = r(^cos26 — 2cos6-+-|).
\j^ centre.de gravité de la courbe s'obtient en faisant • il est donc au centre du cercle fixe.
CINÉMATIQUE. 177
4. On considère un plan lié invariablement à un cercle de rayon r qui roule sans glisser sur un cercle de même rayon. Un point quelconque du plan mobile décrit, pendant une révolution complète, une courbe fermée; quel est dans ce plan le lieu des points dont la trajectoire ait une aire donnée A? ?
(École Normale, juillet i883, 2* question.)
Soient N le point décrivant, a sa distance au centre G du cercle mobile; nous pouvons supposer que le centre instantané I se meut avec la vitesse angulaire constante co sur le cercle fixe, et, si l'on appelle v la vitesse de N dans ce mouvement, on aura, pour Taire élémentaire décrite,
dX^ = \vdt.OB,
OB étant la distance au point O de la tangente à la courbe décrite. Or la vitesse angulaire instantanée autour de I est 2 o), puisque l'angle de la rotation élémentaire est la somme des angles de contingence de la base et de la roulante : donc
dk^=iùdt.m.OB = IN.OB.d'e = é£6(ÏN* -4-IN.rcosa);
or
IN cosa = r — acos6,
d'où
IN =/'2-f.a2 — 2arcos6;
â?A2 = (2r2-ha2 3a^cos6)d'6, A2= 27r(2r2-Ha2).
Le lieu cherché est un cercle décrit de G comme centre
avec un rayon a = 4 / 2 r- ; si a ]> r, l'aire A^ comprend, outre l'aire de la courbe, celle de la boucle, qui se trouve ainsi répétée deux fois.
On arrive tout aussi vite au résultat qui précède en formant
A* = 2 /(^ dy ~y dx).
ViLLiÉ. — Compositions, 12
