Accélération dans le mouvement épicycloïdal plan
Soient, à un instant quelconque, a, ^ les coordonnées du centre instantané de rotation et w la vitesse angulaire; les composantes de la vitesse d'un point (a:, y^ du système mobile sont
celles de l'accélération sont
Le lieu des points du plan ayant même accélération w est le cercle
Il y a un point et un sieul pour lequel l'accélération est nulle : il est au point de rencontre des deux droites rectangulaires
sauf dans le cas où l'on a à la fois co = o, -j- = o ; tous les points du plan ont alors une accélération nulle.
L'accélération normale — est nulle pour le centre instan-
CINÉMATIQUE. 179
tané et pour les points pour lesquels p =: oo , ou
dx d'^y dy d^T 'di ~dt^ ~~ 'di ~dF ~ ^ '
celte équation devient, après suppression du facteur to^,
c'est celle d'un cercle passant par le centre instantané. La trajectoire de chacun des points de ce cercle présente une inflexion.
Enfin, pour trouver les points pour lesquels l'accélération tangentielle -r: est nulle, il suffit de dériver l'équation
ce qui nous donne
le lieu des points cherchés est donc la circonférence
qui coupe rectangulairement la circonférence d'inflexion et passe comme elle par le centre instantané ; il convient de remarquer qu'en ce point Taccélération tangentielle n'est pas nulle ; à cause de (^ = o, elle prend une forme absolu-
ment indéterminée. La fonction -j- est discontinue en ce
dt
point du plan, mais seulement le long de la circonférence (4)« Le second point d'intersection des circonférences (3) et (4) est le point sans accélération fourni aussi
l8o DBUxfÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
par les équations (2). Le point sans accélération a recule nom de centre des accélérations, parce que l'accélération de tout point du système est la même que si là rotation instantanée variable o) avait lieu effectivement autour de ce point considéré comme fixe. En effet, le mouvement du système peut être considéré comme résultant de la translation du point sans accélération et de la rotation w autour de ce point; l'accélération d'un point quelconque est la résultante de son accélération dans ce dernier mouvement, de l'accélération d'entraînement, qui est nulle, et de l'ac- 1 célération centripète composée, qui l'est également, puisqu'il y a translation.
6. Qn suppose qu'un plan P soit lié invariablement à un cercle C! roulant sur un cercle fixe C de même rayon; de plus y le point de contact de C et Cl se meut uniformément sur C. Trouver j pour une position quelconque de P, le point de ce plan dont V accélération est nulle,
(Paris, juillet 1882, a® question.)
La vitesse angulaire instantanée to = 2 -7- étant aussi
constante, les coordonnées du point cherché sont données par
or
a = rcosO, p = rsin6,
d'où
Le point sans accélération est situé sur le prolongement du rayon du point de contact et à la moitié du rayon à partir de ce point.
CINÉMATIQUE. l8l
7. Les données étant celles du numéro précédent, on demande quelle est l^ accélération d'un point du cercle G au moment où il se trouve sur la circonférence C.
(Paris, novembre 1882, a* question.)
En vertu de la condition -, - = o, Taccélération d'un
dt '
point quelconque du plan P passe par le centre des accélérations et a pour expression Rw^; appliquant au point de contact des deux circonférences et représentant par v la vitesse de déplacement de ce point, on a, pour l'accélération cherchée,
On arrive aussi à ce résultat en appliquant les formules qui donnent les composantes de l'accélération dans le mouvement épicycloïdal plan, au point a: = a, jk = 6?
-TT = w -T- = 2 ( -7- r cos6, dt^ dt \dt) '
dt^ dt \dt) '
ces formules ne supposent nullement — r= o.
Enfin il est encore plus simple de chercher la déviation du point de contact : c'est la ligne qui joint ce point à sa situation infiniment voisine, puisque le point de contact I est centre instantané de rotation. Or cette igne, tangente à la trajectoire de I, passe par le centre de CI et a pour expression rrfO.e = rrfô^; l'accélération est donc
ir
\dt) r
La même méthode s'applique à la recherche de l'accélération du point de contact de la base et de la roulante
l82 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
dans le mouvement épicycloïdal plan ; elle est tangentielle, dirigée vers le centre de courbure de la roulante et a pour grandeur
/•et r' représentant les rayons de courbure de la courbe fixe et de la courbe mobile et -r la vitesse avec laquelle le centre instantané se déplace sur la courbe fixe.
8. Étant donnés un plan fixe P, un cercle fixe de centre O {fi'g* i^) et, sur la circonférence de ce cercle^
Fig. 14.
un point fixe K^ le mouvement d'un plan mobile V sur le plan fixe P est défini de la façon suivante : une droite ^& ^fixe dans le plan P', passe par le point A, pendant qu'un point B, fixe sur cette droite, décrit la circonférence du cercle O ;
i" Trouver dans ce mouvement la base et la roulante;
2® En supposant que le point B décrive la circonférence avec une vitesse constante, trouver, pour une po-
CINÉMATIQUE. 1 83
sition quelconque du plan mobile P', le point de ce plan dont V accélération est nulle,
(Paris, juillet i883, 2* question.)
Le point B du plan V décrivant la circonférence O, le centre instantané est sur BO ; d'ailleurs le point A, consi- ^ déré comme appartenant au plan P, vient, après un déplacement infiniment petit de ce plan, en A|^ tel que B,A, = BA; donc la trajectoire de A est tangente à AB et 1 est le centre cherché. La base est donc la circonférence donnée et la roulante une circonférence de rayon double.
Soit 2 0) la vitesse angulaire constante de B sur la circonférence O, o) sera la vitesse angulaire instantanée autour del; on le voit, soit par le déplacement élémentaire de B, soit en remarquant que la rotation élémentaire autour de 1 est la différence des angles de contingence de la base et de la roulante. Les coordonnées du centre des accéléralions sont donc données par les formules
co(^a)-^--=o,
or, si l'on prend le centre O pour origine,
a=rcos2a)^, p = rsin2to^;
d'où
X = 3a, ^ r= sp.
Le point cherché est le symétrique de B par rapport au centre instantané, et le lieu de ces points, quand P' se déplace, est un cercle concentrique au cercle O et de rayon triple.
9. On sait qiCil existe à chaque instant dans le mouvement d'un plan mobile Q sur un plan fixe P deux
l84 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
points, dont l'un A a une vitesse nulle et l'autre B une accélération nulle. On demande quel doit être lemouvement du plan Q sur le plan P pour que le point B soit fixe et la distance AB constante,
(Paris, juillet 1879, 2® question.)
Le mouvement du plan Q sera défini quand on connaîtra la base, la roulante, la vitesse angulaire instantanée w et la vitesse de déplacement du centre instantané sur la courbe fixe. Or la base est une circonférence décrite deB comme centre avec le ravon BA = r; on a d'ailleurs
p étant le rayon de courbure de la roulante compté en sens inverse de r\ cette formule nous donnera p quand nous
ds »
aurons calculé w et -t-» Si l'on prend pour origine le point
sans accélération, on a les équations
on en déduit
.Q d((ii%)
^ dt dt
ou
to
la vitesse angulaire (o est constante et égale à -• Substituant dans l'une quelconque des formules (2), on trouve
(^) -dt—'^^'r'
la vitesse angulaire du centre instantané est constante :
CINÉMATIQUE. l85
elle est égale et de sens contraire à la vitesse angulaire instantanée.
Enfin la formule (i) devient
la courbe mobile est donc un cercle de rayon - roulant à l'intérieur de la base.
10. On considère à un instant déterminé un système invariable en moui^ement. En prenant dans ce système trois axes coordonnés rectangulaires dont Vaxe des x est Vaxe de la rotation instantanée, on demande rf'ecrire les projections sur les axes de la vitesse d^un point quelconque {x^y^ z) du système.
Démontrer ensuite, à Vaide de ces formules, quHl existe, dans un plan quelconque non parallèle à Vajce instantané, un point et un seul dont la vitesse est perpendiculaire aup lan .
(Paris, novembre i883, 2® question.)
Soient u^ V ei w les composantes de la vitesse de l'origine, celles d'un point quelconque seront
, V dx dy dz
pour que cette résultante soit perpendiculaire au plan
(2) Aa:-f- Bj-4- G^-h D = o,
il faut que
les équations (2) et (3) ont une solution commune, puisque A^o.
l86 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
H. Un point M se meut d^un mouvement uniform,e sur une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit: 1° on demande de montrer que, toutes les fois que le point M traversera un plan P, la normale à la trajectoire située dans ce plan P ira passer par un point fixe de ce plan; 2" on projette le point M sur un plan perpendiculaire à Vaxe du cylindre, parallèlement à la tangente à V hélice au point oit elle coupe ce plan. Soit m la projection de M. On construit, à un instant quelconque, la grandeur géométrique mml^ qui représente V accélération du point m. On demande le lieu du point ml. Dans quel cas se réduira-t-il à une droite? Quelle est la trajectoire du point ml
(Paris, novembre 1881, 2® question.)
I® Soient
x^-^-y^ = r^, z = k are tang - = Acp
les équations de l'hélice,
AX-f-BY-f-GZ-f-D=:o
celle d'un plan. Le plan normal à Thélice a pour équation
(X — x)dx-{- (Y —y) dy-{-(Z~z)dz = o;
or
xdx-{-y dy = Oy k{xdy — y dx) = dz(x^-\-y^);
d'où
dx dy dz
Les équations de la normale située dans le plan P sont
donc
y(^>i-x)-x{Y-y)~ k{Z-z) = o, que l'on peut écrire
A'B — C^ ~ ^^>tÂ~— Cy "^ — b — "Cl '
CINÉMATIQUE. 1 87
Ces équations sont satisfaites, quelles que soient x^yei z^
par
