X-B Y XA D
2° La tangente à rhélice au point où elle perce le plan des xy a pour équations
celles de la projetante M/n sont, par suite,
Xr=^, Z — z= -(Y—/);
d'où, pour les coordonnées du point m,
X=a7 = rcoscp, Y — ^ 7^ = r(sin«p — cp).
Le lieu des points m est une cycloïde engendrée par un point de la circonférence de rayon r roulant sur la droite X = — r et qui a un sommet sur l'axe OX.
3° La vitesse angulaire --? =::r w étant constante, Taccé-
lération du point m a pour composantes
__ r^ — rojîcoscp, -^ =-r(o2sincp;
les coordonnées du point m! sont donc
X' = r(i — 0)2) coscp, Y'= r(i — (o2) sincp — rcp;
la courbe lieu de ces points est encore une cycloïde. Le point m! est sur le même rayon du cercle décrivant que m et à la distance a = r(i — w^) du centre.
Ce lieu devient Taxe des y pour w = i .
12. Un corps solide se meut autour d^ un point fixe; trouver à chaque instant le lieu des points du corps
l88 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
pour lesquels V accélération est perpendiculaire à l'axe
instantané de rotation.
(Paris, juillet 1880, 2* question.)
Soient^, j>^, z les coordonnées d'un point du corps rapporté à des axes fixes passant par le point fixe; /?, q eir les composantes de la rotation instantanée; on a
dor d'y dz
(i) -^-=qz-ry, -^j^rx-pz, -^-^py-qx,
, . dx dy dz
Or, pour les points cherchés, ,«. d^x d^y d^z
si l'on dérive l'équation (2) en tenant compte de (3), il
vient
, . dx dp dy dq dz dr
^^' dt dJ ~^ ^ "di^ dt di ~^
ou
^^ di^^^~^^^'^ di^^^'~^^^'^ di^Py — ^^^^^^
équation d'un plan passant par l'axe instantané. Des équations (2) et (4) on déduit
les équations (2) et (6) montrent que la vitesse de tout point du lieu est normale à l'axe instantané et à sa situation infiniment voisine. On en conclut que ce lieu est le \\x\\\ tangent au cône lieu des axes instantanés, le long de r<^\0 qui correspond à l'instant que l'on considère.
13» Un cône G de révolution est fixe; un second cône (li^ t'^Wilution G et de même sommet O roule extérieure^
CINÉMATIQUE. J 89
menty sans glisser, sur le premier, de telle sorte que la génératrice de contact se déplace sur C d''un mouvement uniforme. On considère un solide lié invariablement au cône CJ. Trouver à un moment quelconque les points du solide dont V accélération est à ce mom,ent parallèle à Vaxe instantané de rotation,
(Paris, juillet 1884, a® question.)
Soit plus généralement un solide dont un point O est fixe; les composantes de l'accélération d'un point quelconque de ce corps s'obtiennent en dérivant les équations (i) du n° 12
^^ / o ON / dr\ I dq\
g =-(^M-/>^)^-f-(r^-g).-l- (rp 4- f )r;
le lieu des points cherchés satisfaisant aux équations
ct^x d^y d^z ( \ Z^ — ^ — ^"
est une droite passant par le point fixe.
Pour trouver les équations de cette droite dans le cas particulier de l'énoncé, nous prendrons pour axe des x la génératrice de contact des deux cônes, à l'instant considéré et pour plan des xz celui de leurs axes ; nous choisirons O^, de telle sorte que l'axe du cône fixe soit dans l'angle xOz^ enfin nous désignerons par a et et! les demiangles au sommet des cônes C et G et par w la vitesse angulaire constante de rotation de la génératrice de contact. La vitesse angulaire instantanée est la résultante de deux autres faisant entre elles l'angle a H-a' et dont l'une est w;
on a donc
sin(a-:- a') ^ sma 2 7
sa grandeur étant constante, on a aussi
dp = o, dq =p sinoi X 0) dt, dr = o.
Les équations de condition
deviennent alors
dO'
-TY = — wa?/) sma — p^z = o ou
cota -h cota'
La droite cherchée est donc située dans le plan des deux axes, du même côté de l'axe instantané que l'axe du cône G'; enfin elle fait avec la génératrice de contact un angle inférieur au plus petit des deux angles a et a'.
