Un point M est attiré par une droite indéfinie Ox
en raison inverse du cube de sa distance à cette droite; on
connaît sa position initiale, ainsi que la grandeur et la
direction de sa vitesse initiale supposée contenue dans
un même plan que la droite fixe Ox, Déterminer sa
trajectoire en distinguant les divers cas qui peuvent se
présenter,
(Lille, novembre 1876.)
Prenons l'axe des y passant par la position initiale y^ du mobile et pour directions positives des axes celles qui font un angle aigu avec la direction de la vitesse initiale v^. Les équations du mouvement sont
(I) d'où
la projection de M sur Ox est animée d'un mouvement uniforme dans le sens des x positifs.
On a encore
dy\^ (X Z--o2«;in2a ^
(3) kt^c = dz s/^-^ky^ = •^;
d%x d'^y dt^ °' dt^
X — t^o^cosa;
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRB« IqS
d'où l'on déduit
dy
et, en intégrant (3),
(4) y^^ kf^-^ict-i-yl.
Eliminant le temps entre (2) et (4), on a Téquation de la trajectoire
k^ ( Vot'î sinacosaX» k .
J cos>a \ A: / jx*^
Les équations (3), (4) et (5) ne sont d'ailleurs applicables que quand j^ ne change pas de signe; mais, si le mobile vient à couper Taxe des x, il est sollicité par une force infinie et arrive sur cette droite avec une vitesse infinie; les lois de la Mécanique ne peuvent donc s'appliquer à un tel mouvement, qui ne se présente pas dans la nature. Si Ton veut néanmoins poursuivre l'étude théorique du mouvement, on se guide sur des considérations de symétrie et l'on convient d'appliquer les mêmes formules à la seconde période du mouvement. Mais, s'il s'agit de formules déduites de l'intégration, cette application ne peut se faire sans un changement des constantes introduites par l'intégration; quand, en eflfet, la quantité sous le signe / passe
par l'infini, la valeur de l'intégrale est purement conventionnelle, elle n'a donc aucune raison pour être égale à la différence des valeurs que prend l'intégrale indéfinie aux limites de l'intégration.
Les divers cas qui peuvent se présenter dans le problème actuel dépendent de la nature de la courbe (5), c'est-à-dire des valeurs de k.
1° A" >> G. — La courbe est une hyperbole ayant la droite
attirante pour axe transverse ; soit d'abord y^ ;> o, j^ et -j- ViLLiË. — Compositions. i3
ne s'annulant jamais, les formules sont toujours appli- ('abl(\s et le mouvement a lieu constamment dans le même sens ; le mobile reste sur la partie supérieure de la branche droite d'hyperbole.
Si jKo <C o, le mobile vient rencontrer 0:r au bout du temps ^1, marqué par la plus petite racine de l'équation (4) dans laquelle on fait jk = o,
A partir de cet instant, y devient positif; il faut prendre i le signe supérieur du radical dans l'équation (3), et la nou- . velle constante Ci, qui doit être introduite, est déterminée par l'équation
d'où
Cl = y a t^o sin a -i- a /jx = c H- 2 v/fx.
Dans la première partie du mouvement, le mobile décrit
Fig. i5.
la portion Mo A {Jig, i5) de la branche gauche de l'hyperbole
kx \2 , ,
— ky^= (x;
Vq cosa
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. 105
partir de Tinstant t^, il se meut sur Thyperbole ( h c -f- 2 /jx ) — Arj» = [X,
qui s'obtient par un transport de la première vers les x
négatifs de ^ ^^^^ — ? c'est-à-dire delà longueur de Taxe
transverse. Le mouvement se continue indéfiniment sur la branche droite de cette hyperbole située au-dessus de Ox. 2^ k<C o. — Une discussion analogue à la précédente montrerait que le signe de c ou de yo est sans intérêt, et (pie la trajectoire se compose d'une branche d'ellipse et d'une série de demi-ellipses situées alternativement de part et d'autre de O^, chacune d'elles s'obtenant par le transport de la précédente, vers les x positifs, d'une longueur égale au grand axe. Ces demi-ellipses seront d'ailleurs parcourues dans le même temps —j •
i^ k= o, — Dans le cas de yo > o? I21 trajectoire est la branche supérieure de la parabole
-^ VqCOSOL -^ ^
^'/o < o, le mobile décrit une partie de la parabole
et ensuite la branche supérieure d'une parabole symétrique par rapport à la tangente à son sommet.
16. Un point matériel, non pesant, est lancé avec une vitesse Vq, parallèlement à une droite fixe vers laguelle il est attiré avec une force proportionnelle à la distance et dont la valeur est [x* à l'unité de distance;
il éprouve en outre y de la part du milieu dans lequel il se meut, une résistance proportionnelle à sa vitesse et dont la valeur est 2 k pour une vitesse égale à Vuniik. Étudier les divers cas que peut présenter le mouvement de ce point suivant les grandeurs relatives de ^
et de k.
(Poitiers, juillet 1880.)
Prenant la droite attirante pour axe des x et l'axe des/ passant par la position initiale, on a les équations
, ^ d^x , dx , dx
on en tire
X va constamment en croissant et atteint sa valeur maximum -~ pour t infini.
Les racines de l'équation caractéristique de (2)
a2 H- 2 /• a -f- [Jl2 = o
peuvent être réelles ou imaginaires. Si A" >» [x, elles sotJ réelles et négatives ; en les représentant par — a< et — a^^ on a
et
y va constamment en décroissant et devient nul poui ^ = Qo . Le coefficient angulaire de la tangente à la ira-
MOUYEIHENT d'uN POINT LIBRE. I97
jectoîre est donné par la formule
il est constamment négatif et croît en valeur absolue avec /; la courbe arrive à angle droit sur Taxe des x.
Si A: < [JL, les racines de Téquation caractéristique sont imaginaires et, en posant ^/[jl^ — ^^ = )v, on a
(6) 7 = '^e-^^(XcosXr-hX-sinX0,
les maxima de j^ sont donnés par \t^=^ iniz et les minima par \t =^{in-\-i)TZ. La trajectoire est une sorte de sinusoïde coupant l'axe des x et dont les branches vont en se rétrécissant dans les deux sens.
17. Étudier le mouvement d^un point m.atériel dans un plan, en supposant qu^il soit attiré par un point fixe de ce plan, en raison inverse de la cinquième puissance de la distance.
(Grenoble, juillet 1880.)
Prenant le point fixe pour pôle, le principe des aires est applicable et donne l'équation
(i) r* ^ = c* = To i'o sin e,
les angles étant comptés dans le sens de la vitesse initiale Vq et e désignant l'angle de Vq avec Tq.
Le théorème du travail et des forces vives fournit la seconde équation du mouvement
Éliminant dt entre les équations (i) et (2), on a Téquation différentielle de la trajectoire
le problème revient à l'étude de cette courbe.
1® vi ^ = — A-^^ o. — Les racines en r^ du tri-
nôme sous le radical sont réelles et de signes contraires
^' S = - v'="X:«(r^-r;)(r«+rj7;
r ne peut recevoir de valeur supérieure à r<. Soit, par exemple, \--jkj >> o : on doit prendre d'abord le signe supérieur du radical et r croît de Tq à r< ; pour r = ri le radical s'annule, et, comme r ne peut continuer à croître, on doit prendre ensuite le signe inférieur du radical; r décroît donc de Ti à — r^ et recommence à croître. La courbe se compose d'une série de boucles égales tangentes au cercle r^ et se coupant à l'origine ; elle ne se ferme pas en général. Ces boucles sont d'ailleurs décrites dans des temps égaux représentés par l'intégrale
Jo ^
