X:2(r2— rj)(r2-+-r

2** pjj — -^ r= A:2> o. — Trois cas peuvent alors se pré-

senter :

(a) Les racines du trinôme sont imaginaires, ^ ne

s'annulant jamais conserve toujours le même signe et va constamment en croissant ou en décroissant; la courbe décrite est une spirale qui va à l'infini : elle passe à l'ori-

MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. 199

(6) Les racines sont réelles; alors elles sont positives et

Ton a

dr

soit /'2!!> ^1 ; ^0 ^st nécessairement inférieur à r< ou supérieur à r^. Dans le cas de Tq <C r^ la courbe se compose d'une série de boucles égales (i°) ; si Tq > Ti , on peut avoir

soit \-3l) >o : r croît jusqu'à l'infini; soit \--m\ <Co :

alors r commence à décroître jusqu'à r^ et croît ensuite indéfiniment avec 6.

(c) Enfin, si les racines sont égales, l'équation dilTérentielle de la trajectoire devient

c2 r^—ry

elle est intégrable et donne

(4) '--'^i ^tt^q'

X étant une constante qui, si l'on fait passer l'axe polaire par la position initiale du mobile, est déterminée par l'équation

X est donc supérieure à l'unité en valeur absolue, elle est positive si ro^r< et négative dans le cas contraire.

Soit ro>r<, le lieu représenté par l'équation (4) se compose de quatre spirales à branche parabolique (Jig* i6) asympto tiques au cercle r< et symétriques deux à deux par rapport à O^; deux d'entre elles, les seules pouvant convenir au problème dont il s'agit, se coupent au point ro. Le mobile suit la branche infinie de l'une d'elles, ou la