partie asympto tique à la circonférence r< de l'autre, sui
vantque(J)^>o.
Si ro<i /'<, la courbe est continue, symétrique par rapport à Ojc et entièrement intérieure au cercle r< auquel
Fig. 16.
elle est asymptotique dans les deux sens ; deux branches se croisent à l'origine et le mobile passe en ce point si
dr\ .
L'équation différentielle de la tra-
ectoire est encore intégrable et donne
- cos(ô — a)
qui représente une circonférence passant à l'origine; la constante a est déterminée par la condition que cette circonférence passe par la position initiale du mobile.
Nous avons supposé, dans l'étude de ce problème, que
l'équation des aires et celle des forces vives continuaient à s'appliquer dans le cas où, le mobile passant à Toriglne, les fonctions étudiées deviennent discontinues; nous agirons de même dans tous les problèmes de ce genre, mais il convient de remarquer que c'est là une convention au sujet de laquelle il conviendrait de faire les mêmes observations que dans l'exercice n° 15.
18. Un point matériel de masse égale à i est attiré par un centre fixe; V attraction à la distance r est égale
à-^, [jL étant une constante. On suppose quà Vorigine
du temps ce point matériel est situé à une distance a du centre fixe et qu'il est animé, perpendiculairement au
rayon vecteur, d'une vitesse égale à i/ ~ • On demande
de déterminer la trajectoire du point mobile, d'assigner sa position et sa vitesse à l'époque t et d'exprimer l'arc parcouru depuis l'origine du temps par une intégrale de la forme / -7=
(Paris, novembre 1878.)
On a les deux équations
d^ / [JL
qui, par l'élimination de dt^ donnent
i a'' ri» l\d(t J J 3/-«
aoa DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
et, en intégrant,
(3) r' — a*cos20,
en prenant pour axe polaire le rayon vecteur initial; cette équation représente une lemniscate.
La position, à un instant donné du mobile sur sa trajectoire, sera déterminée si l'on connaît 6 en fonction de t\ or les équations (i) et (3) donnent
cTO COS26 = —i/ ^ dt,
(4) = iarcsin^r+^^^|^j;
pour la partie supérieure de la boucle droite, c = oetl^ temps employé à parcourir cet arc est
Après avoir passé à l'origine avec une vitesse infinie, le mobile parcourt, dans le même temps T, la partie inférieure de la boucle gauche ; donc, pour 8 =: u, la formule
doit donner ^ =:= 2Ï, ce qui exige que c= — a; il y a changement de constante en même temps que 6 saute brusquement de la valeur - à ti + 7 •
L'équation
-^larcsinf Y — ^)
convient pour tout le parcours de la boucle gauche; à chaque passage du mobile par l'origine, la constante cdoit être diminuée de deux unités.
MOUVEMENT d'uN POINT LIBRE. 2o3
On irouverait de même
le mouvement est d'ailleurs révolu tif. Il en est ainsi de tous les mouvements auxquels le principe des aires est applicable, pourvu que la trajectoire n'ait pas de branche infinie. L'arc parcouru s'exprime en fonction de 6 en partant de la formule (2), qui peut s'écrire
toutefois, pour la réduction complète aux fonctions elliptiques, il faudrait que le module fût inférieur à l'unité. Pour effectuer cette transformation, il suffit de poser
u = ^'2 sin ô,
d'où
et
du
W2)(l-iw2)
ce qui est la formule demandée, permettant l'emploi des Tables des fonctions elliptiques.
19. Trouver le mouvement d'un point matériel sollicité par deux forces dirigées vers un même centre fixe, Vune attractive et variant proportionnellement à la distance, Vautre répulsive et variant en raison inverse du cube de la distance. On supposera la vitesse initiale perpendiculaire au rayon vecteur initial.
(Paris, juillet 1869.)
On a les équations d'où
Posons, pour abréger, t^Q-r-j =n^, réquation (i)peut
s'écrire
rli^l/dry n^rl , [x*rj
on en tire
En supposant 9 = o pour r = ro, on aura^ sans constante d'intégration,
± — -r: arc cos — ^^-r — — — f-r-^ );
d'où, pour réquation de la trajectoire,
I I nÔ (jl2 nÔ
— -- —^ cos2 h --„ sin2 —
^2 rj Çq n2 ç^i
(2) -^ '-'- -^ ^os2 h -, sin2 —
Cette courbe est comprise entre deux cercles concentriques au pôle et ayant pour rayons Tq et - ; l'angle d'un rayon vecteur minimum, avec le maximum suivant, est — •- moindre que -; la courbe est fermée et algébrique
si — est commensurable. Il est aisé de voir que, en ap-
MOUVEMENT D*UN POINT LIBRE. ao5
pliquant le plan de la figure sur un cône droit, dont le demi-angle au sommet ait pour sinus — > le pôle étant
au sommet du cône, la transformée de la trajectoire se projettera sur un plan perpendiculaire à Taxe du cône suivant une ellipse dont les demi-axes seront -^-^ et — La trajectoire se réduit à un cercle si
cette équation, dont le second membre représente l'accélération du mobile à l'instant initial, est la relation constante du mouvement circulaire uniforme.
Chaque branche de trajectoire allant d'un cercle limite à l'autre présente un point d'inflexion; d'ailleurs, si, à un certain instant, le mobile a une accélération nulle, sa trajectoire s'infléchit : donc, si la valeur r = -- > pour laquelle
l'accélération serait nulle, est comprise entre les limites To et —5 c'est en ce point qu'a lieu l'inflexion de la trajec-
toire. Toutefois, si r = --= coïncide avec l'une des limites,
le rayon de courbure de la trajectoire est infini, sans qu'il y ait inflexion ; seulement, la tangente a un contact du troisième ordre.
La loi du mouvement sur la trajectoire est donnée par
le principe des aires
dt =
rfÔ
I n^ 1x2 . nô'
-r C0S2 \- —^ Slll2
ri Po n^ Vq
(3) ^a°&-^ = — -^a°gf^^-
Le temps employé pour décrire l'arc compris .entre un
2o6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
maximum et un minimum de r est — et ne dépend point de \,
20. Un point matériel P est sollicite par une force dirigée vers un centre fixe O et qui dépend de sa distance au point O ; l'action de la force sur V unité de masse s^ exprime par la formule
aX:*(a'-4-6^) 3 A:» a» 6»
On suppose le point P placé d'abord en à une distance a du centre O ; on imprime à ce point une vitesse
A:* perpendiculaire au rayon OC et égale à — : déterminer
son mouvement,
(Paris, juillet 1870.)
Le principe des aires et l'intégrale des forces vives fournissent les deux équations
(i) r*— = roVo = k^,
les constantes se détruisent, et Ton a, pour l'équation différentielle de la trajectoire,
Li—^ i. — ^^"^^^ ^'^^ r* \3ô / "^ r2 — r* W '
MOUVEMENT D'uN POINT LIBRE. 207
d'où, si ron prend pour axe polaire le rayon vecteur initial,
