O = arc cos j-r

(3) r* = a»cos»ô-i-6*siii«e,

cette courbe est la podaire de l'ellipse

relativement à son centre ; c'est aussi la transformée par

rayons vecteurs réciproques de l'ellipse d'axes - et t»

On a encore, entre les coordonnées et le temps, les relations

(4) t = r— 6 -r—- smaô,

(5) t = -^j [(aî-T- ^>2) arc cos ^^^^^' ~— — 2 /(aî r2)(r2— ô»)! . Le mouvement est circulaire et uniforme si a=r. b.

21. Trouver le mouvement d'un point matériel M de masse m, sollicité par une force dirigée vers un point

fixe O et égal à — ^^ — > r étant la distance OM et ^

V angle que fait ce rayon vecteur avec le rayon vecteur initial Ok. = a. On supposera la vitesse initiale perpendiculaire au rayon vecteur initial OA et égale ài/^;

on donnera une formule permettant de calculer la position du mobile à chaque instant; on calculera la durée de la révolution et on la comparera à celle qui aurait lieu si le mobile, placé dans les mêmes conditions initiales, était sollicité par la force

(École Normale, juillet 1877, i*"* question.)

Appliquant les formules qui conviennent au cas des forces centrales, on a les équations

d'où Téquation difTérentielle de la trajectoire

r I 3sin«ô 3

(3) -j^ 4- - = -^ = -- (i— COS2O);

rintégrale générale de cette équation est

cos'6

- = A cosô -i- B sinô H

r ia

Pour 6 = o, /' = a, d'où A = o ; d'ailleurs l'équation

devient, pour 6 = 0,

d'où B = o. L'équation de la trajectoire est donc

ia '

cette courbe, dont les rayons vecteurs sont les carrés de ceux d'une ellipse rapportée à son centre, a son grand axe double du petit et dirigé normalement à l'axe polaire.

La relation entre 8 et le temps se déduit des équations (1) et (4), qui donnent

1/ ïï ^I^

(n-cos2 0;2

d'où

(5) M /-a[x = «2/ arc tang

langO tan^O

J~^ •>.-+- iong*0

Faisant dans cette formule 6 = 90", on a / = { T, en appelant T la durée de la révolution du point matériel, d'où

Si la force centrale qui sollicite le mobile a pour expression -^, l'équation différentielle de la trajectoire est

ia

d'où

- = A cosO -h B sinô H ,

et, si rou tient compte des conditions initiales,

(7) i = J(3 cosO) :

r ia

c'est l'équation d'une ellipse rapportée à son axe focal et à son foyer de gauche ; son grand axe 2 a = | a et la durée Ti de la révolution du mobile est donnée par la formule

d'où

^.='-Fv/V°-!^'

22. Soient O un centre d^ attraction, OX une droite fixe passant par ce point ; un point matériel M est soL licite à chaque instant par une force dirigée vers le

point O et dont V intensité est , .> a > M- désis'nant une

ViLLiK. — Compositions. i \

constante, r et ^ les coordonnées polaires du point M, r =: OM ; 8 = XOM. La vitesse initiale est dirigée dans le plan qui passe par la position initiale M© et la droite OX. On demande de déterminer la nature de la trajectoire du point matériel,

(Paris, novembre 1879, 1^ question.)

On pourrait, comme dans l'exercice précédent, se servir de la formule de Binet pour obtenir l'équation de la trajectoire, en coordonnées polaires ; nous appliquerons de préférence les équations générales du mouvement d'un point qui conduisent à un résultat se prêtant mieux à la discussion.

On a les équations

^ ^ d^x \k X |JL d^y

^^^ dt^ " r^cosse r ~ x^' dt^ ~

la première donne

si l'on pose

\dt J Q Xq

Le théorème des aires fournit l'équation

c'^dx

X dy — y dx =±z c^dt =±:

qui s'intègre immédiatement et conduit à l'équation de la trajectoire

(3) \x*-{y — axy— c'*x{bx-\-i\k) z=zo\

c'est une courbe du second degré passant à l'origine et tangente en ce point à l'axe des y, La courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que 6 = 0; l'abscisse

, du centre — ^ est positive dans le premier cas et négative dans le dernier; la trajectoire se réduit à une droite

y =z ax =^ — X Xq

si c- = 0, c'est-à-dire si la vitesse initiale est dirigée suivant OMq, ou en sens opposé.

La courbe coupe Taxe des x aux points

Xi = o, X2= -r — r î— r •

•z^o^odans le cas de l'ellipse et de la parabole; il peut être négatif dans le cas de l'hyperbole. Si la trajectoire est elliptique, le mouvement est révolutif et, chaque fois que le mobile passe à l'origine, sa vitesse est infinie ; si la trajectoire est parabolique ou hyperbolique, le mobile s'éloigne indéfiniment avec une vitesse qui tend vers zéro.

La loi du mouvement de la projection du mobile sur 'axe des ;r est donnée par l'équation

ztdt =

2{JL

ou

±b{t— ti)= ^bx^-\-i}xx — \x I -

cette dernière intégrale est un arc sinus ou un logarithme suivant que la trajectoire est une ellipse ou une hyperbole. Si la courbe est une parabole, on a

3 V/2{JL

23. Un point matériel libre, sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, se meut de manière à être

à chaque instant sur une spirale logarithmique ayant ce centre pour pôle et tournant uniformément autour de lui. On demande la valeur de la force en fonction de la distance du point mobile au centre fixe. U expression de cette force étant trouvée, on cherchera V équation générale de la trajectoire d^un point matériel,

soumis à V action de cette force.

(Paris, novembre 1874.)

Prenons pour axe polaire le rayon vecteur initial OA = a et comptons les angles 6 dans le sens de la rotation d'entraînement w; l'équation de la trajectoire relative est

et, comme

on a la relation

(i) /• =z ae"(0-a)/)^

qui, jointe au théorème des aires

(2) r^-d() = cd/,

détermine r et en fonction de t.

Pour Irouver l'expression de la force centrale /(/'), nous appliquerons la formule de Binet

or

' de

on

tire

bis)

-iot ■

= - log - , n ^ a

et, si Ton élimine dt entre la différentielle de cette équation et l'équation (2), on a l'équation différentielle de la

MOUVEMENT D'uN POINT LIBRE. J I 3

trajectoire

dr

nrfi-'^r^^

qui permet de calculer -^ >

^62 d'où l'expression de la force

L'action du point O se compose d'une attraction en raison inverse du cube de la distance et d'une répulsion proportionnelle à cette distance.

La loi du mouvement s'obtient en éliminant d^ entre l'équation (2) et la différentielle de (1 bis)

, r dr

dt = — ,

n(c — CD H)

Pj 2/ito^ = lojî , — .

On pourrait, en partant de l'expression de la force donnée par l'équation (4), obtenir l'équation générale de la trajectoire : il suffirait de procéder comme dans les exemples précédents ; nous chercherons seulement quelle est la trajectoire absolue avec les données du problème actuel. L'élimination de t entre les équations (i bis) et (5) conduit immédiatement à l'équation de la trajectoire

, r^ , c — a^o) 2/16 = loff — -+- \os

» «2 O c— r^tii

a^' ou -h ( c — a- to ) e-2«^

2l4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II. — MOUYEUENT, ETC.

Quand c ^a^to^ 6 peut varier de — oo à + oo , r variant de zéro ai/-; Téquation (5) montre que r croît avec le temps si /? ^ o ; le mobile décrit la portion de

spirale asymptotique au cercle de rayon i / -; il décrirai l

la partie asymptotique au pôle si n << o.

Quand c est compris entre zéro et a^is)^ 6 ne peut variei que de la valeur qui annule le dénominateur de r^ jusqu'î •4-00 ou — 00 suivant le signe de n; r varie de oo jusqa'î

-: le mobile tourne extérieurement autour du même

Ix)

cercle, dont il s'approche si n ^ o et s'éloigne indéfimmejit si n <C o.

Enfin, quand c << o, 6 peut varier de zp oo suivant le signe de ai, jusqu'à la valeur qui annule le dénominateur, r allant de zéro à l'infini ; le mobile décrit la portion de courbe qui se rapproche du pôle si n^o, et l'autre partie si n <^o.

Pour c = o, la trajectoire est une droite, et poui c=za''(ù c'est un cercle.

MOUVEMENT D*UN POINT SUR UNE COURBE FIXE. 2l5