SI
on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que (-jt) sera positif ou négatif^ dans le premier cas,
9 ira constamment en croissant de ôoàTcet, dans le second, en décroissant de 9o à o, si l'on choisit la direction positive de l'axe polaire, telle que o<<9o<^'^- H atteindra d'ailleurs sa situation limite, qui est une position d'équilibre instable, avec une vitesse nulle et au bout d'un temps infini ; ce fait est général. Quand un mobile décrivant une courbe fixe arrive sans vitesse en un point où il reste, c'est * évidemment une position d'équilibre, et, de plus, cet équilibre est instable, puisque la force vive du mobile est minimum. Enfin il n'arrivera généralement, dans cette situation limite, qu'au bout d'un temps infini^ sans quoi la vitesse serait une fonction du temps telle que, à partir
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE COURBE FIXE. 217
' d'un certain instant, elle serait constamment nulle. De pareilles fonctions sont fort rares ; le Calcul intégral en fournit peu d'exemples.
. Mouvement d^un point pesant sur la courbe
ens — ï
ax -\- s = o,
sachant qu-il y a une résistance proportionnelle au
carré de la vitesse, cette résistance étant exprimée par
la formule R=z nv-,
(Clormont, novembre 1880.)
L'énoncé suppose implicitement Taxe des x dirigé suivant la verticale ascendante.
La courbe se construit facilement en partant de son équation différentielle
/x dx e^^—i
(I) -— =cosa= ;
as a
on reconnaît qu'elle est tangente à l'origine à Taxe des y
et entièrement située du côté des x positifs ; comme -r doit
être inférieur, en valeur absolue, à l'unité, il faut que l'on ait du côté des s positifs e"*^ i -j- a, ce qui donne un point d'arrêt à tangente verticale. Quant à la branche obtenue en donnant à s des valeurs négatives, elle sera infinie si a]> i ; dans le cas contraire, elle présentera un point d'arrêt comme la première, qui sera fourni, si l'on pose — 5 = <t^ par l'équation
cette seconde branche sera donc plus étendue que l'autre. Le mouvement du point sur cette courbe sera donné par
2l8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
le théorème des forces vives
(9.) d\v* = — /^djrzç: /iv^ ds = ?(i — c«0=P /it'- U^.^;
le signe supérieur convient au cas du mouvement dirigé vers les s positifs et le signe inférieur au mouvement en sens contraire.
Nous supposerons que le mobile part sans vitesse initiale d^un point ^o de la branche positive; on a alors
une nouvelle intégration donne
( 4 ) I — c-"* = ( i — e-«-^o) cos ^ 1/ — ;
le mobile passe à Torigine au bout du temps T = - 4 / — ^'
indépendant de Sq ; la courbe est donc tautochrone. Il fcmonte ensuite pendant un temps égal, et l'arc négatif — - ^< qu'il décrit est donné par la formule
<T< croît avec ^o, mais lui est toujours inférieur, puisque /^ relation précédente peut s'écrire
Le mouvement ultérieur s'obtient en prenant le signe supérieur dans l'équation (2), et la courbe n'est pas tautochrone du côté des arcs négatifs.
26. Un point M assujetti à se mouvoir sur une sphère donnée, sans frottement, est sollicité par une force dirigée suivant la perpendiculaire abaissée du point M sur un diamètre fixe AB. Suivant quelle loi doit varier
la force pour que la trajectoire décrite par le mobile
mt une conique sphérique, dont le diamètre AB est l'un
des axes ?
(Ecole Normale, juillet 1877, 2* question.)
Soient (/^. 17)
GF = CF, = A, MF dz MF, = 2a;
nenons l'arc MP normal à ACB ; on a
cosMF = cosMP cos(X -h PC), cosMF, = cosMP cos(X — PC),
Fiç. 17.
i\ les équations
cosMF -I- cosMFi = 2 cosMP cosX cosPC, cosMFi— cosMF = 2 cosMP sinX sinPC; MF q= MF, cos MP cos X cos PC
cos
cos a
. MFnzMF, cosMPsinXsinPC
sin -^ -* = -. ;
2 sina
cos^MP
cos2 X cos2 PC sin2 X sin^ PC
cos^a
sin^a
or
cosMP cosPG = - : cosMP sinPC = - »
réquation de la projection de la courbe sur le plan des xz est donc
/ X o cos2 X sin2 X
cos^a sin^a
c'est une ellipse dont un axe est plus grand et l'autre plus petit que a. L'équation de la projection de cette courbe sur le plan des xy est en coordonnées polaires
(2) /2 ;.2 cos2 l{; -f- A-2 ( ^2 ,.2 ) = oT-^
si l'on pose
cos^X sin^X
cos^a ' sin^a
Soit /(r) la force agissant sur l'unité de masse comptée dans le sens attractif; cette force et la réaction de la sphère rencontrant l'axe des z^ le théorème des aires projetées sur le plan des xy s'applique; en y joignant celui des forces vives, on a les deux équations
(4) v'^ = X~-iJf{r)dr',
or
a-i-^ri \dt ) \dt ) '
d'où, en éliminant clt,
De l'équation (2) on tire
\d'if) ' ya^{i-k^-y ^ aH,i — k^) 'J'
MOUVEMENT D UN POINT SUR UNE COURBE FIXE. 22 f
et, en substituant dans (5),
^l ^ r^ii^l^ ;.+ /.,..] =A./>(.)^.,
Il — u'-)(a^ — '■") L" (' — " ) J J
ce que l'on peut écrire
dérivant enfin par rapport à r, on a, pour l'expression de la force,
(6) Ar)= i^ ) ^ .
■i — ri yl '
elle est attractive ou répulsive suivant que cos^)^ est inférieur ou supérieur à cos^a, c'est-à-dire suivant que l'axe des X est le grand ou le petit axe de l'ellipse projection de la conique sur le plan des œz.
27. Déterminer la courbe décrite sur un plan horizontal parfaitement poli, par un point matériel M lié par une tige rigide inextensible et sans masse, à un autre point A sans masse qui est animé d'un mouvement uniforme et rectiligne dans ce plan.
(Lille, novembre 1872.)
Imaginons un système de comparaison en translation avec A, les forces d'inertie d'entraînement et centrifuge composée étant nulles ; le mouvement relatif de M est celui d'un point soumis seulement à la réaction de la tige : le principe des aires s'y applique donc, et, comme la trajectoire relative est une circonférence par le centre de laquelle passe constamment la force centrale, le mobile la décrit avec une vitesse angulaire constante.
Le mouvement absolu est celui d'un point qui parcourt, avec une vitesse angulaire constante w, une circonférence dont le centre se meut uniformément, avec la vitesse V,
sur une droite fixe O^. La trajectoire de M est donc une cycloïde rallongée ou raccourcie; la droite sur laquelle roule
la circonférence est parallèle à O^ et à la distance — de
cette droite, V^ et (o étant pris chacun avec son signe.
28. Trouver, dans un plan vertical, la courbe sur laquelle un point pesant doit être assujetti à se mouvoir, pour que le rapport de la pression exercée par ce point sur la courbe à la composante normale de son poids soit égal à un nombre donné n.
On examinera en particulier le cas de n=^ 2.
(Ecole Normale, novembre 1872.)
Je prends pour origine le point de départ, l'axe des x étant horizontal et Taxe des y dans le sens de la pesanteur; je désigne par y/ 2^/1 la vitesse initiale et par N la réaction de la courbe comptée dans la direction de la normale, qui fait un angle aigu a avec celle de la pesanteur. Si Ton projette les forces N et^ et l'accélération qu'elles produisent sur la direction positive de N, on a
('" Ji I 1' N -h ^ cos aL = {n-\- \) g co? 7.=± — = àzig — ,
le rayon de courbure étant pris en valeur absolue; on mettra le signe + ou le signe — selon que la courbe aura sa concavité vers les y positifs ou les y négatifs. Or on a aussi
= di i ^^ ^ -^ = ih
d'^y dp
dcc^ ^dy
les signes étant pris dans le même ordre que précédemment, et
cos a =
réquation de la courbe est donc
^ ^ ^ p dp ^ '
iDtégrant et désignant par k la constante h{\ -{- pi)
il vient
(i) Â-'+i(i-f-/>2) = (A-i-7)«+i, dx =
dv
On ne sait intégrer cette différentielle binôme que lorsque ou sera entier; Fensemble de ces
deux cas est compris dans la formule /i 4- i = -, |jl étant
entier. Voyons quelques valeurs simples de jjl. 1° Soit [jL r=: 2, alors n^=.o\ l'équation (i) devient
dx =^-±.
s/kdy
C'est une parabole à axe vertical que le mobile suivra librement, en sorte que la courbe, ne réagissant pas, n'éprouvera aucune pression.
2*^ [X =,i, n = I . — La pression sur la courbe est égale à la composante normale du poids; l'équation (i) devient
dx=±:
kdy
sji^h-^yf — k'^
a? = zh clog
C'est une chaînette, car on déduit de l'équation précédente
^' /, XQ = z^k\o
La loi du mouvement sur la chaînette se déduit de l'équation des forces vives ; on a
On est conduit à une intégrale elliptique de deuxième espèce.
3° 'i. r= — I , /i = — 3. — La pression est triple de la composante normale du poids et dirigée en sens contraire de cette composante; l'équation (i) nous donne
- rh (// -f- y)dv
clx = ' ' ' - t
c'est un cercle dont le rayon k=h\/i-\-pl est fonction de la direction et de la grandeur de la vitesse initiale. Le mouvement de ce pendule est donné par la formule
dt
cosa
le mobile ne parcourt que la moitié inférieure de la circonférence.
4"* [^ = — 2, /z = — 2. — La pression double de la com posante du poids est dirigée en sens inverse
dx = ±1 dy
La courbe est une cycloïde tournant sa convexité vers le bas ; la base est sur l'horizontale j>' = — h, et le diamètre
du cercle générateur est k. Le mouvement sur celte courbe
à la fois tautochrone et brachistochronc est bien connu.
5° Enfin, si l'on lait jjl infini, n= — i, le mobile doit
rester sur une droite, et son mouvement est uniformément
varié.
\iLLiiî. — Compositions. i5
