CHAPITRE IV
29. Un point matériel pesant, assujetti à rester sur une sphère de rayon a, est attiré proportionnellement à la distance par un point fixe B situé sur la verticale Oz du centre de la sphère, à une distance OB = b de ce centre. On donne la valeur [jl de V attraction à Vunité de distance, Vintensité g de la pesanteur, la vitesse initiale k du point mobile, laquelle est supposée horizontale, et enfin la distance initiale h de ce point au plan Oxy qui passe par le centre de la sphère.
On demande de trouver les limites entre lesquelles
variera, pendant le mouvement, V ordonnée z du point
mobile; de déterminer complètement ce mouvement,
dans le cas particulier où l'attraction du point fixe B
sur le centre de la sphère est égale et contraire à la
pesanteur,
(Paris, novembre 1875.)
Le point mobile est soumis à l'action de trois forces, dont deux, l'attraction du point fixe et la réaction de la sphère, rencontrent O^ et la troisième, la pesanteur, lui est parallèle; le principe des aires projetées sur le plan Oxy est donc applicable, en y joignant le théorème des forces vives \ on a , en coordonnées cylindriques , les
équations
al \ ci— k-^- = — 2 I ] [LX dj- -i- {xy dy -i- [ ix{z — ^) -H ^ | dzj
or
2 dr^-hdz^ ^ ^d^ a^d^ &*
^ ~ 37* ' ^' dt^ ~ r« dt^ "^ r2 '
d'où réqualion entre :; et /
Les valeurs limites de ^ s'obtiendront en exprimant que
dz di
dz la vitesse est horizontale, -37 = o, ce qui donne l'équa-
lion
qui admet, ainsi que cela devait être, la racine 2 = A ; en la supprimant il reste
Soient Z| la plus petite de ces racines en valeur absolue 61^2 l'autre, il ne saurait y en avoir qu'une répondant à la question :
i^ g — [x6>>o; substituant successivement pour z, dans le premier membre de (5), les valeurs
— 00, — a, — hj -+- a et -f- 00 ,
On trouve que ^1 est compris entre — a et — h elZ2> a: celle dernière valeur doit donc être rejetée. Soit h >> o,
le parallèle limite inférieur est situé au-dessous du parallèle symétrique de celui du point de départ.
2® g — [jl6<^ o. Les mêmes substitutions montrenlque ^2 est inférieur à — a et que Z\ est compris entre —A et -4- a; c'est donc la racine z^ qui convient. Pour trouver les situations respectives des parallèles limites h el 3,, toujours dans Fhypothèse A^o, cherchons la condition pour que z< := — h\ on a immédiatement, en substituant dans (5), jjl6 — ^ = o; donc, quand la valeur absolue de ^ — [jl6 est très petite, le parallèle z^ est très peu audessus du parallèle — h. Pour étudier ce qui arrive quand
h croît, il faut former la dérivée -77 : on trouve facilement
db
le second membre est positif si
s'il en est autrement, comme le radical est toujours supérieur à
la dérivée -rj est encore positive. Donc, quand b croît, le parallèle z^ s'élève; on a -^^ = h quand
(b) xi,b — f; =
alors le mobile décrit un parallèle et son mouvement angulaire est uniforme en vertu du théorème des aires.
Enfin, si le centre d'attraction B continue à s'élever, z^ devient supérieur à A; on a ^i = a pour 6 = oo .
3^ g — |jl6 = o; les composantes des trois forces agis-
sant sur le mobile sont respectivement, en appelant N la réaction comptée à l'intérieur de la sphère,
leur résultante passe constamment par le centre de la sphère : donc la trajectoire est plane. Le mobile décrit un grand cercle de la sphère d'un mouvement uniforme; faisant passer le plan des xz par la situation initiale du mobile, on trouve aisément, pour l'expression de ses coordonnées en fonction du temps,
(7) z = nco?> — > x^^a^—h^cos — > r = asin — : ^ ^ a /' a -^ a'
enfin la réaction de la sphère est constante et égale à
Nous avons supposé A ^ o dans la discussion précédente ; si à l'instant initial le mobile se trouvait dans l'hémisphère inférieur, ce cas se ramènerait à celui que nous avons étudié en prenant pour axe des z la verticale descendante et changeant 6 et ^ de signe. La discussion serait la même ; elle se présenterait seulement en ordre inverse.
Recherchons, en terminant, la condition générale pour qu'un mobile assujetti à rester sur une surface de révolulion y décrive un parallèle d'un mouvement uniforme.
La vitesse initiale ^o doit être tangente au parallèle de rayon r décrit par le mobile, et de grandeur telle que la force centrifuge correspondante soit en équilibre avec la réaction de la surface et la résultante des forces /réellement agissantes, ce qui exige d'abord que cette résultante soit constamment dans un plan méridien, et de plus, si l'on projette sur la tangente au méridien, pour éliminer
23o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
la réaction, que Ton ait Téquation
(8) — cosa-f- 2/cosX = o;
on vérifie aisément que cette relation conduit à l'éijuation (6).
30. Un point matériel est assujetti à rester sur une sphère dont un point fixe P est considéré comme pôle, et il est sollicité par une force dirigée, à chaque instant, suivant la tangente au méridien MP et inversement proportionnelle au carré du cosinus de la latitude. Déterminer le mouvement du point M et trouver V équation du cône qui a pour sommet le centre de la sphère et pour directrice la trajectoire décrite.
La vitesse initiale du point M sera supposée tangente au parallèle passant par la situation initiale.
(École Normale, juillet 1875.)
Le principe des aires projetées sur le plan de Téquateur est applicable et donne, en désignant par a le rayon de la sphère et par "k la latitude de M,
(i) di ~ ^'^^^^ acos-A — = Po cosAo;
le théorème des forces vives conduit à l'équation
(2) ç2—ç-2 = 2J -^^adl = !>.|j.a(tangX — tangXo);
or
,.= ,.eosn(^)+a^(^J;
d'où, en éliminant dt ,
MOUVEMENT d'UN POINT SUR UNE SURFACE. 23 1
la relation différenlielle entre 9 et X est donc
y/ — ç'^ cos^Xo tang^X H- 2(xa tangX — 2(xa tangXo-i- ^l sin^Xo
le mobile reste entre le parallèle "ko et le parallèle X^ défini par la seconde racine de la quantité sous le radical égalée
à zéro
(4) tangX,= ^^^^J^-tangX..
Le mobile décrit le parallèle Xo si Xi =Xo, c'est-à-dire si l'on a
" sinsXo L'équation (3) peut s'écrire
zhrf6 =
Çq cosXo c?tangX
/ PrtSinÀA — :
»xrt
V/ ((^0 sinXo > ) — (poCOsXotangX ■ — c-
son intégrale est, en faisant Oo= o,
,^. û i?5 cos^XotangX — ijLa
(5) cosQ = ■> . > ? ■ — )
i'j sinXe cosÀo — [xa
équation qui définit la trajectoire du mobile.
On obtient aisément l'équation du cône ayant cette courbe comme directrice, à l'aide des relations
cosô = - ■> tangX =
(6) [zs^l cos2Xo-f-^([jLa— J- vl sin2Xo)]2— \t.^ a^ {x^ -^r y^) = o;
c'est un cône du second degré ayant le plan des a;z pour plan de symétrie. La trajectoire et la courbe symétrique relativement à l'origine se projettent sur ce plan suivant
deux arcs de l'ellipse
limités par le méridien de ce plan.
La relation entre la latitude et le temps est
, , acos^X c?tanfîX
/ — ç'^ cos^Xo tang^X -h âjxa tangX — 2.\La tangXo-i- pJ sin2X(
ou, en posant tang). = //,
expression que Ton sait intégrer.
31. Un point matériel non pesant, de masse m, est assujetti à se mouvoir sur la surface dhine sphère de rayon /; dans chacune de ses positions il est soumis à Inaction d'une force perpendiculaire à un plan fixe P mené par le centre de la sphère, dirigée vers ce plan, et
dont V intensité est — —', z désignant la distance du mobile au plan. On suppose la vitesse initiale parallèle au plan :
1° Trouver la projection de la trajectoire sur le plan P;
2° Exprimer les coordonnées polaires du mouvement projeté en fonction du temps, dans le cas où Von a
Vq désignant la vitesse initiale et Zq la valeur initiale
de z,
(École Normale, juillet 1879.)
En procédant comme dans les exemples précédents,
on a
ou
^2\^rf</ ^'^ \dt) '*» ^J ^;;2»
éliminant dt^
le —
^ ne peut varier qu'entre les deux racines de la quantité sous le radical, et, comme Tune d'elles est -^> l'autre est
ai p-i
JL __ -2 Z± — lu .
s*'';>o, il est supérieur à l^\ r varie donc en tous cas entre Tq et /.
L'équation (3) peut s'écrire
'ntégrant et faisant 60= o, il vient
