COS
OU
. 1 cos*ô sin*6
suivant que ^J^o, cette équation représente une ellipse ou une hyperbole ; si c'est une ellipse, son grand axe est dirigé suivant Oy,
Recherchons r et 6 en fonction du temps dans le cas où, en vertu de Ténoncé, la courbe est une ellipse ; on a
^rf tango
/•o Vq dt = = ro ri
(S -nge;
— tCOS^Ôh — ^ sin*ô i-H
d'où
(5) tangO = ^ tang ^ ^
On en déduit, à l'aide de l'équation (4),
(6) /'2=r2cos2 ^ /-i-rjsinî^ t,
La trajectoire du mobile est une courbe fermée qui a pour projection l'arc AB d'ellipse {fig* i8), et les formules qui précèdent ne sont applicables que quand le mobile va de Mq en B ; à partir de ce point la vitesse angulaire -77 change brusquement de signe sans passer par zéro, et la vitesse v devient infinie au point B, ^ = o, à cause
dz
de sa composante -^' La valeur limite o) de 6 est donnée par la formule
Ti =~cos2a)-H-Lsin2a>,
el la durée T d'un quart de révolution est
T = ^ arc lang "^^
A. partir du moment où le mobile vient rencontrer en B le plan des xy^ son mouvement ne peut plus être déterminé qu'en invoquant des raisons de symétrie. Il faudra en conséquence, pour obtenir le mouvement dans la seconde période qui comprend le parcours du mobile de B en A
ce/'
au-dessous du plan des xy, remplacer, dans les formules (5) et (6), t par aT — t; de cette façon, en effet, pour deux instants également éloignés de l'époque T, 6 et r reprendront les mêmes valeurs. Pour la période suivante dans laquelle, z étant positif, 6 varie de — w à + o), on remplacera t par t — 4T, et ainsi de suite.
32. Un point pesant m est assujetti à se mouvoir sans frottement sur un cylindre circulaire droit dont l'axe est vertical, et, en outre^ il est soumis à Vattrac-
tion d'un point fixe A, attraction proportionnelle à la distance. Déterminer le mouvement du point m.
(Paris, août 1874.)
Prenons pour axe des z l'axe du cylindre et pour axe des X rhorizontale passant par A; on a, en appelant R le rayon du cylindre, a la distance OA, [jl^ l'attraction à l'unité de distance et N la réaction prise positivement à l'extérieur du cylindre,
d'où Ton déduit, en tenant compte de l'équation différentielle du cylindre,
, d^x . d^y „ , dx^-Jr-dy^ „ «
2 dx —i— -\-idy —rr = 2 a^ a dx, , , ' = 2 a^ aa? + C,
dt^ -^ dt^ ^ ' dt'^ ^
ou, en coordonnées polaires,
(2; R = R(o2-i- 2|j.2a(cosO — cosOo),
//fi en désignant par w et 60 les valeurs initiales de -z- et de 6.
Quant à la troisième équation (i), elle s'intègre immédiatement :
(3) ^ = (^„+^)cos^<+i(§)^sin,..-^.
La projection de M sur l'axe des z fait des oscillations dont la durée est — ^ au-dessus et au-dessous du point dont
l'ordonnée est — -^« L'équation (2) prouve que le rayon
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 287
vecteur de la projectioR de M se meut par rapport à OA
comme la tige d'un pendule de longueur — ^ par rapport
à la verticale; le mouvement sera alternatif ou continu selon que
Dans le second cas, le temps d'une révolution est
