MT = ? ^Ù

Ai=-4 i ^'

A — Ai = 7:a| x — cl —t.

Pour exprimer A — A< en fonction de Tabscisse t^ de T, écrivons l'équation de la tangente MT

d'où

X X f^ — rv* n •

on en déduit

ti^— X a ^ ^. ,

e~'-he ^ x—f,)

et enfin

A — Aj = TZCiuQ*

11. O/i considère, sur la surface d\in paraholoïde elliptique, les courbes définies par la condition que les normales à la surface menées par les différents points de Vune d^ elles fassent un angle constant avec Vaxe,

Trouver V équation des projections de ces courbes sur un plan perpendiculaire à l'axe du paraboloide.

Calculer Vaire de la calotte du paraboloïde limitée par une de ces courbes,

(Paris, novembre 1874, i"* question.)

Soient

l'équation du paraboloïde et 8 l'angle constant pour une même courbe, que font les normales à la surface avec l'axe des z\ on di

i=:cose^, + (g)V(|)' = cosO^,^.J.,4-~;

d'où, pour l'équation de la projection des courbes cherchées, sur le plan tangent au sommet du paraboloïde,

(2) -H.^= tangue.

Pour trouver l'aire de la calotte du paraboloïde limitée par une de ces courbes 8 = 80, nous prendrons pour aire élémentaii-e rfo* celle qui se projette suivant la couronne comprise entre deux ellipses infiniment voisines.

L'aire de l'ellipse (2) étant izab tang^ô, celle de la couronne est

d\ = iTzao tangO — --, ,

et, comme

, dX , sin6 d^

d'S z- = l-Kah r^r- ,

cosQ cos^O

on en déduit

^•sinOrfO

(3) .:=2uaM -^.e- = 3^'^H^^i^o""T

l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

12. Déterminer V équation finie d^ une courhe gauche diaprés les conditions suivantes :

I ° La courbe est située sur la surface du cône

2^ Toutes les tangentes à cette courbe rencontrent le cercle

Rectification de la courbe. Calcul de la sur/ace du cône comprise entre l'arc de la courbe et deux génératrices fixes,

(Montpellier, novembre 1880.)

En exprimant que la tangente qui a pour équation

dx dy ~ dz

coupe le cercle donné, on a la condition

ou, transformant en coordonnées cylindriques, en tenant compte de l'équation du cône p = kz^

a2 = p2+ ip(hk - p) ^- {hk - p)2 ^ ^ ^^ ;

d'où

ou

àzdoi =v/a2— A2^2

hk__

Pour que le problème soit possible, il faut que hk^a^ c'est-à-dire que le cercle donné soit extérieur au cône ou sur le cône; dans ce dernier cas, a) = consl.,, la courbe

cherchée est une génératrice quelconque du cône. Soil

donc

hk<,a\

on a, pour l'équation de la projection de la courbe sur le plan des xy.

±(<o + c)=^^,-ilog±(^-.).

Toutes ces courbes sont superposables par rotation de l'une

d'eUes

hk

autour de O^. Ce lieu se compose de trois spirales : 1** une spirale située sur la nappe inférieure du cône, asymplotique au sommet et à la génératrice qui a pour projection la partie négative de l'axe des Xy 2° deux spirales sur la nappe supérieure, toutes deux asymptotiques au cercle p = hk^ z = hy suivant lequel le plan donné coupe le cône, la première située au-dessous de ce plan et asymplotique au sommet, la seconde placée au-dessus du même plan et asymplotique à la génératrice ayant pour projection la partie positive de l'axe des x. L'arc s de la courbe est donné par la formule

ds^ = dz^ -h é/p* -7- pî éfo)*,

^^ = Â-^^p /-'- AU^-H (l-H -i) (M-p)^

\/a>—h^k'^^K/ a^—h^k^-\-(^\^^[hk-''^y

+- consl . = i/a* — h> k'^ loff ^- 7-7 ^

^ hk — p

^'a>-A»A»+(i + ij) (hk - p)'.

l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I. — QUADRATURES.

Enfin Taire du cône, comprise entre un arc de courbe et deux génératrices se projetant suivant les rayons pi et p^, a pour expression

Jp, '^ -^k Jp hk - p

(p.-?, + Miog||-£i)