TC
<a?0 v/R(2[jL*a cos6 -j- Ra>2 — 2(x*acos6o) *^;
s'il est commensurable avec — > la trajectoire sera fermée;
mais elle ne peut être plane, car ce serait une ellipse, et 6 devenant une fonction connue de z s'exprimerait comme lui par des fonctions élémentaires de t; or c'est incompatible avec la forme de l'équation (2) qui exige une intégrale elliptique quand a est différent de zéro.
La valeur de N s'obtient aisément à l'aide des deux premières équations (i) :
d'où
puisque
donc
dx dy
dtV^Tt'^^Tt^-'''
//Ai
N = — R^^4-(x«(R — acos6) = {jL2(R-j-2acos6o— 3acos6)— R(i>2.
Cette force atteint son minimum pour = o et son maximum pour la valeur limite de 6 si le mouvement est oscillatoire, ou pour 8 = 71 s'il est révolutif ; il sera donc toujours possible de reconnaître si la réaction, que nous avons
comptée extérieurement au cylindre, change de sens pendant le mouvement.
33. Mouvement d' un point matériel pesant, assujetti à rester sur la surface d^un cylindre de révolution dont Vaxe fait un angle e avec la verticale ascendante,
(Paris, novembre 1876.)
Prenons pour axe des z l'axe du cylindre et pour plan des zx le plan vertical contenant cet axe; les équations générales du mouvement nous donnent
Opérant comme dans l'exemple précédent, on arriverait à
dx"^ -h dy^
-g^r^ =2^sinecto,
d'où Ton conclurait que le mouvement de la projection du mobile sur le plan des xy est pendulaire.
Le mouvement de la projection du point sur Qz esl celui d'un mobile soumis à la seule action de la pesanteur
et animé d'une vitesse initiale \-t:) • La trajectoire n'est
jamais plane, et la réaction s'exprime comme précédemment.
34. On donne une ellipse dont les axes ont pour longueur ia et ih\ cette ellipse sert de base à un cylindre droit indéfinie sur lequel un point matériel est assujetti à se mouvoir. Ce point est, en outre, attiré proportionnellement à la distance par le centre O de V ellipse. Déterminer le mouvement et discuter les divers cas qui peuvent se présenter.
Données. — On représentera par k^ V attraction du
MOrjYEMENT d'UN POINT SUR UNE SURFACE. 289
centre O sur V unité de masse à V unité de distance ; par Vq la vitesse initiale; par t P angle qu'elle fait avec la génératrice du cylindre; par Zq la distance de la position initiale du mobile au plan de V ellipse, et par ûOq la distance de ce même point au plan qui passe par Vaxe du cylindre et le petit axe de V ellipse.
Appliquer les formules trouvées au cas oùb=^ a\ que faut-il, dans ce cas, pour que la trajectoire soit une courbe fermée ou bien une courbe plane?
Calculer, dans la même hypothèse, la réaction du
cylindre.
(École Normale, juillet 1881.)
Les équations générales du mouvement nous donnent, .V étant l'arc d'ellipse,
L'Intégrale de la dernière est
ix) z = ZQCOskt-\ j — smA:^;
le mouvement projeté sur O^ est oscillatoire, et la durée
des oscillations est T =z —* Les valeurs de t qui rendent z
maximum ou minimum sont données par la formule
. Pocose tangA:^= -— r->
et les valeurs de z correspondantes sont
sjz\k^-^vl cos« £
240 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE lY.
Si l'on élimine la réaction entre les deux premières équations (i), on a
^ ^^-^ -H ^ ûÇr = — ^"H^ dx-hy dy\
équation qui n'est autre que celle des forces vives dans le mouvement projeté. Éliminant y Qldy k l'aide de l'équation du cylindre
xi y2
l'équation (3) devient, en appelant e l'excentricité de l'ellipse de base,
d'où
^'> dï
La quantité —r, r— ^ étant positive, les valeurs extrêmes
Cl" 6 X
de X sont données par la formule
si x\ <]a2, le mouvement est oscillatoire, la projection du mobile passe au sommet du petit axe, milieu de sa course, avec une vitesse maximum, ainsi que cela résulte de l'équation (3). Dans le cas de x\> a^, le mouvement est révolutif; la vitesse devient maximum ou minimum à chaque passage par un sommet du petit ou du grand axe. Enfin, si l'on d^ x\^= a-, l'équation (4) prend la forme
MOUVEMENT d'uN POHS'T SUR UNE SURFACE. 24 1
mple
) ) ke dt = dz Î-— —
expression que l'on sail intégrer; mais il est facile de voir, sans faire l'intégration, que le mobile n'atteint sa position d'équilibre instable x=^±a qu'au bout d'un temps infini; si l'on forme, en effet, l'expression (ci zp x) - — ^ .,— ->
elle ne change pas de signe, et sa valeur minimum est
Dans le cas de 6 = a, e = o, la formule (4) devient
dx
ax . Vq sms ,— ^ — dt a ^ '
(I Où
t'osinî^ . t'oPins
loj .r = a cos t. y = a sin t,
SI l'on prend pour instant initial celui du maximum de x\ ce sont les formules du mouvement angulaire uniforme ; ^équation (3) conduit immédiatement à la même conséquence.
La durée de la révolution est T' = — r-^: si donc le
Po sin £
l'apport =r = — ^ est commensurable, la trajectoire est
iermée. Pour qu'elle soit plane, il faut d'abord que ce rapport soit égal à l'unité, et il est facile de reconnaître que celte condition est suffisante ; les trois coordonnées {'exprimant linéairement en fonction du sinus et du coinus du même multiple du temps, l'élimination de ces ignés trigonométriques conduit à une équation linéaire et omogène en x^ y et z.
ViLLiÉ. — Compositions. i6
La réaction est donnée par la formule
a dt^
elle est constante, et cette constante est nulle dans le cas où la courbe décrite est plane.
35. Un point matériel non pesant est assujetti à se mouvoir sur un cône de révolution, et il est soumis h V action dUin centre attractif , placé au sommet du cône et qui l^ attire en raison inverse du carré de la distance.
On demande d'étudier le mouvement du point matériel et, en particulier, la projection de la trajectoire sur un plan perpendiculaire à Vaxe du cône. On supposera la vitesse initiale perpendiculaire à la généra' trice du cône sur laquelle se trouve le point m,atérf^^'
(Paris, août 1875.^
Nous prendrons le sommet du cône pour origine et s^^^ a\e pour axe des ^; les deux seules forces qui agisse^ ^^ sur le mobile, la réaction de la surface et l'attraction J^^ sommet rencontrant l'axe des ^, le théorème des aires pr^' jetées donne l'équation
L'équation des forces vives est
o r |JL'- ./• (ir -^- y (/y -^ zdz ^ / 1 i \
'"-'•-' = -V K^ TV = '"!"'(r - k;)'
R représentant la distance du mobile au sommet. Si nous introduisons les coordonnées polaires R et co de la transformée de la trajectoire du mobile dans le développement
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 243
du cône sur un plan, on a, y étant le demi-angle au sommet
du *
cône,
Rto=rô, /•=RsinY, d*où to = ôsinY; les équations du mouvement deviennent
ce sont celles du mouvement d\m point attiré par Torigine en raison inverse du carré de la distance, ainsi qu'il était aisé de le prévoir. L'équation de la transformée de la trajectoire est donc
" I I ces tu
qui représente une courbe du second degré, rapportée à un foyer et à son axe focal.
La projection de la trajectoire sur le plan des xy a pour
équation
\-\- i -^ -1 j cos(OsinY) ^^k est transcendante quand siny est incommensurable.
36. Un point pesant assujetti à rester sur la surface ^ tt/? cône de révolution, dont Vaxe est vertical, est at- ^^fépar un centre placé au sommet S du cône, l'attraction est proportionnelle à une fonction inconnue de la distance MS :
1° Trouver quelle doit être cette fonction pour que ^^trajectoire du point M soit plane;
2** Étudier, dans ces conditions, le mouvement de la projection du point M sur un plan horizontal ;
3° Déterminer la réaction du cône pour une position quelconque du point M sur sa trajectoire,
(Agrégation, 1879.)
La réaction de la surface, la force attractive / et la pesanteur étant dans le plan du point M et de l'axe du cône, le théorème des aires projetées est applicable
Le principe des forces vives donne l'équation
or
^ dz'^-¥- dr"' -f- /-^ ^02 ^ ç2 çt y 'r\
d'où, en differenliant Téquation (2),
g cosy c- j I
(3) /h-^cosy ^ cM 1 ^ I r
La trajectoire du mobile étant plane, l'équation de sa projection est
I — e cos ' on en déduit, pour l'expression de la force /,
Le mouvement de la projection du mobile sur le plan
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 245
orizontal est connu, puisqu'il s'effectue, conformément
ivi principe des aires, sur une courbe du second degré,
iont l'origine est un foyer; le temps s'exprime en fonction
de r par la somme d'un radical et d'un arc cos ou d'un
logarithme, suivant que la courbe est une ellipse ou une
hyperbole; dans le premier cas, on introduit de préférence
Vanomalie excentrique.
La réaction N, comptée à l'intérieur du cône, se détermine aisément par Péquation du mouvement projeté sur
-^ = ^^cotY = Nsin7-/cosv-^;
or
df^ — e/? sinO c?0 rcsinO
dt ~ (i — ecosO)2 di ~ ~p ~'
d^r eccosô f/0 ____ c2 / j^ i\ p dt ^^\p '/
dV^
Où
sinY r^sinYV/? r) '
-^ cos
«J*. Un point matériel pesant est assujetti à de-
^^iirer sur un cône circulaire droit dont Vaxe est ver-
^ical; il est y en outre, soumis à Vattractioîi d\in centre
fi^e placé au sommet du cône et attirant en raison in-
^erse du cube de la distance.
On demande d'étudier le mouvement du point matériel,
(Paris, juillet 1876.)
Le théorème des aires projetées sur un plan horizontal et celui des forces vives conduisent aux équations
r^-f = const. ou R^ —— = c, dt dt '
«? ï ^' = - ^3 ^R — ^ ^- = " ( ^ + ^ cos y) r/R .
Le mouvement du mobile sur la transformée de sa trajectoire est celui d'un point soumis à l'action d'une force
attractive égale à ~ -h^casy; pour l'étudier, nous éliminerons -j- entre l'équation des aires et
il vient
(l) ^5^y=2^R3coSY-f-AR2--|x2-C-2,
équation, dans laquelle la constante A a pour valeur
on est ainsi ramené aux fonctions elliptiques.
Nous distinguerons trois cas, suivant qu'on aura [jl- — cnégatif, nul ou positif:
I® [JL- — c^<Co, Le polynôme du troisième degré P qui représente ( , ) a deux racines positives, séparées par
Ro; le mouvement du point est oscillatoire entre les parallèles R2 et R3.
Pour que le mobile décrive le parallèle Rq, il faut que
la vitesse initiale soit horizontale, ce qui exige (-j- ) =0, et qu'on ait, en outre (n° 29),
11 est aisé de reconnaître que cette condition équivaut à exprimer que Rg^Rs.
2" a- — c- = 0. — On a
-j- ===t: y/ — 2^K cosY -f- A;
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 2^7
le radical s'annule pour une seule valeur R| de R, supérieure à Ro ; si donc ( -z- ] > o, R va en croissant jusqu'à
Ri pour décroître ensuite jusqu'à — oo , le mobile passe de la nappe supérieure à la nappe inférieure avec une
vitesse infinie; si (^) <C o, R décroît dès l'origine du
mouvement.
Dans le cas actuel, R s'exprime simplement en fonction du temps, et il est aisé d'avoir sous forme finie l'équation de la trajectoire.
3** [X- — c->>o. — Le polynôme P a une seule racine positive R| supérieure à Rq; la condition de réalité des autres racines s'obtient en remarquant qu'elles sont alors séparées, par la racine
Ma — >
6 g cos Y
de l'équation -j^ =o; si l'on exprime que cette valeur de R rend P négatif, on trouve
27^2 cos^Y
(Jl2— C2<0.
Si cette condition, qui suppose A<:^o, est remplie, le mobile oscille entre deux parallèles R^ et R25 ce dernier étant situé sur la nappe inférieure et répondant à la plus petite en valeur absolue des deux racines négatives du polynôme P; on peut reconnaître que les racines R^ et R3 sont comprises entre — R^ et — oo et que par suite — R2>R|. En effet — R| et — 00 substitués dans P donnent des résultats positifs; donc les deux racines négatives sont comprises entre zéro et — R| ou entre — Rj et — 00 . Pour prouver qu'elles sont dans le second intervalle, il suffit de montrer que la racine Ra qui les sépare
y est elle-même comprise; or
d'où, puisque A << o,
2^RJ cosY < (x^-- c2< 33~J^,^ = g cosY(- Ra)'*
el, par suite,
— Ra> Ri-
Si le polynôme P a deux racines imaginaires, le mouvement du mobile est analogue à celui du second cas.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que la situation initiale du mobile était sur la nappe supérieure du cône ; si c'était Tinverse, nous prendrions la nappe inférieure comme positive, ce qui reviendrait simplement à changer le signe de g^ et nous étudierions le mouvement du mobile à l'aide d'une discussion analogue à la précédente.
Le mobile décrit un parallèle de la nappe inférieure si, la vitesse v^^ étant horizontale, on a
tandis que sur la nappe supérieure le point pouvait toujours décrire un parallèle, moyennant un choix convenable de (\,, il n'en est plus de même sur la nappe inférieure au-dessous
3 / , , 2 du parallèle II = i / — ^
38. Un point matériel non pesant^ assujetti à se mouvoir sur un cône de révolution, est sollicité par une force dirigée à chaque instant suivant la perpendiculaire abaissée du point mobile sur Vaxe du cône, et proportionnelle à la longueur de cette perpendiculaire , Trouver le mouvement de ce point.
On appliquera les formules au cas suivant : r angle que les génératrices du cône font a^ec Vaxe est de 3o", la vitesse initiale est perpendiculaire ù Vaxe.
(École Normale, juillet 1869.)
On pourrait procéder comme dans Texemple précédenl, OQ trouverait que les équations entre 11 et eu sont celles du mouvement d'un point attiré vers un centre par une lorce RjjL^ sin-v; la transformée de la trajectoire du mobile est donc une ellipse avant O pour centre. Nous allons traiter la question directement.
Les équations du mouvement sont
ilt
d'où
'2— rj = — 2/ (X
Vd/r=;x2(/.5,.2),
' équation différentielle delà trajectoire projetée est
d'où
«2 -4- y/a* — 4 6*2 {x2 cos ['Ji ( H- a ) siu ^ ]
'^ courbe est fermée si siny est commensurable; elle se ^^duit à une circonférence et le mobile décrit un parai- 'èle si
a^-4c2p.2=o, (pj-f-{x2r;)2— 4|x2r>f,sin2Xsm2£ = o,
^^ désignant par )v l'angle de Vq avec l'axe du cône et par e ^ ^nglede la projection de t'o sur le plan xOy^ avec le rayon lecteur r; or le premier membre de l'équation de condition
25o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
est supérieur à ( t'J — V^^^l )^» ^^^^ dans le cas où X ^ £ = -^ ; il faut donc, pour qu'il soit nul, que la vitesse Çq soit taï:i-
gente au parallèle et que l'on ait en outre — = [x^ro, ce
que l'on aurait pu écrire immédiatement.
On aurait facilement r et en fonction du temps, mais le mouvement révolutif du point est suffisamment défini par la connaissance de la trajectoire et le principe des aires projetées.
Dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire à Taxe et l'angle y égal à .3o°, on a, en faisant passer l'axe polaire par la position initiale,
les rayons vecteurs de cette courbe sont les racines carré ^^ de ceux d^une ellipse rapportée à un foyer et à son x'^^ focal.
On trouve facilement pour les expressions de r et 6 ^^^ fonction du temps
JJL- \ " 2 ' " 2 /
tanff - = tane - — ;
la durée de la révolution est T = — •
39. On donne un cône de révolution et Von considè ^^^ le plan V perpendiculaire à Vaxe du cône et passa ^^^ par son sommet O. Un point matériel M non pesa^^^ est assujetti à se mouvoir sur le cône ; dans chacune ^^^ ses positions ce point est soumis à V action d'une forc^ perpendiculaire au plan P et proportionnelle à l^ jiième puissance de la distance z du mobile au plan.
MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 253
L'équation de la transformée de la trajectoire, après développement du cône, est l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes
40. Etudier le mouvement d^un point matériel M, assujetti à se mouvoir sur un paraboloide de révolution, et attiré vers le foyer F de ce paraboloide par une force inversement proportionnelle au carré de la distance.
(Paris, juillet 1879, 1" question.)
Le paraboloide rapporté à son axe et au plan tangent au sommet a pour équation, en coordonnées cylindriques,
L'attraction et la réaction rencontrant l'axe des z^ on a
enfin l'équation des forces vives donne d'ailleurs
dt / dt^ r2 'i.z dt^
a -•- 9, 3 c2 dz'^
'laz ' iz \a'^z'^ d^'^ ^
Téqualion (3) devient donc, en posant v'^ r^ = A,
c(a-\-2z) dz
iz fa ^iaz\^^ |j.2-f- \(a-\-iz)\ — c''^[a -^ 'iz)
Celle quadrature, ainsi que celle qui donnerait le temps en fonction de z^ est facile à former, mais l'équation (4) se prête mieux à la discussion des circonstances que présente le mouvement. La quantité sous le radical égalée à zéro a ses deux racines z^ et Z2 réelles ; en effet, z = Zq'^ o rend nécessairement cette quantité positive, tandis que zéro la rend négative, donc o <<^i <I ^0 ; '^ signe de l'autre racine dépend de celui de A :
i"" A>>o, ;:2<;o. — Donc z est constamment supérieur k Zt, Le mobile s'en va à l'infini, en décrivant une spirale, soit dès l'origine du mouvement, soit après être
descendu jusqu'au parallèle Zi, suivant que (-7-) ^o.
2° A= o. — Même mouvement.
3" A << o. — Le trinôme sous le radical a ses deux racines, Zi et ^25 positives, entre lesquelles z est nécessairement compris; le mobile oscille entre les parallèles ^, Cl ^* 2 .
Pour que le mobile décrive un parallèle de la surface^ il faut que la vitesse initiale Vq soit normale à l'axe, et que l'on ail
— sina = -p— cosa:
rangle a de la tangente à la méridienne avec l'axe est donné par la formule langa =: — : la condition précédente peut donc s'écrire
a RI K^
Ces conditions équivalent à
^"^^ô^'o^-^ in ^
et il est facile de vérifier que ces valeurs de c- et A rendent égales les deux racines Zi et z^, ainsi qu'on pouvait le prévoir.
