Trouver le mouvement d^ un point matériel pesant
assujetti à glisser sans frottement sur la sur/ace d^un
paraboloïde de révolution dont Vaxe est vertical et dont
la concavité est tournée vers le haut. On supposera la
vitesse initiale horizontale.
(École Normale, juillet 1872.)
On a les formules
d'oii
ou
dz^ 7.z{vl -- •}. jiT Zi) — ';• ,^z) — 'À z,i c
dt^ a -r- xz
a-h iz "^ \'ji.xr /
^devant rester compris entre Zq et ~^^=h, le mobile
•oscille entre les parallèles correspondants.
Pour que ces limites se confondent, il faut que Zo= h; dans ce cas, le mobile parcourra uniformément un parallèle de la surface avec la vitesse ^'2gZo; comme la longueur du parallèle est 27:^/2^^0? le temps de la révolution
^6ra 2114/ — ; il est le même pour tous les parallèles. Le
paraboloïde est la seule surface de révolution à axe ver- ^'cal, jouissant de cette propriété que la durée de la révolution d'un point matériel pesant qui décrit un parallèle ^st constante; en effet, la condition pour que le mobile décrive le parallèle /• est
— sina = ^cosa,
le temps de la révolution sera donc
iTzr /r ^
J = = air 4 / — tanea;
pour <*ju'il soit constant, il faut que
r dr '^ dz '
la méridienne est nécessairement parabolique.
L'équation différentielle de la trajectoire projetée sur xOy s'obtient en remplaçant dans l'équation (3) z par
