cos2 u-\-h sin2 u ), on a

' z^:,li y/a-H 2^0 ^^s^ w -i- a/i sin- i£

d^) = ± du

a Zq cos2 u -\- h sin^ u

r oscillant entre s^^icizq et sj'iali, Tangle de deux rayon-' vecteurs maximum et minimum qui se suivent est supo*

rieur à -? comme dans le cas du pendule sphérique, cai c'est

h, C " \/a -h 'izq cos^ u H- 1 h si n'-' it .

— du

Zq cos"^ u -f- /i sin2 f/

^ IH tang2

et cette dernière intégrale est égale à -•

La réaction de la surface est donnée par la formule

dt^

v/jr*-H/*-r- a*

en différen liant l'équation (3), on obtietnt -^; substituant dans l'équation précédente et réduisant, on trouve

N = — [a^-h'xa{zo-hh)-r-ihZyi].

yja^a -\- izf

Comme elle est toujours positive, il en résulte que le mobile appuie constamment sur le côté concave de la surface.

42. Un point matériel pesant est assujetti à se mou- ^'oir sur un paraboloïde de révolution, dont Vaxe est la "verticale Oz. Il est, en outre, soumis ci V attraction d^un (centre placé au foyer de la parabole méridienne. Cette (attraction est proportionnelle à la distance et telle que, ^i le point matériel était placé au sommet O^ elle serait ^gale au poids de ce point. On demande d^ étudier le Mouvement de ce point, en particulier dans le cas où ^l s^effectue dans un des plans méridiens de la surface.

(Paris, juillet 1873.)

On a les équations

r^ =z 1 az, r^ -r = c,

^'■-vi=-ij^^KdK-iJgdz = \i.{i^i-K^)^ig{z,-zy,

d'où

ViLLiÉ. — Compositions. 17

on a d'ailleurs

~dt^ ~~ a{a-{- iz) ' si donc Ton pose

A " xavl -\- g[\azQ-^{a-^iz^y],

il vient

dz^' - - ;:zln-^'>.z )^— \afcz^--- Xz — c'^

le problème est ramené, comme le précédent, au\ fonctions elliptiques.

Pour obtenir les limites de g, étudions le polynôme du troisième degré

il a une racine négative et deux racines positives z^ et w^, séparées par >2o> car/(5o) est nécessairement négatif; il est d'ailleurs facile de le vérifier,

Le mobile oscille donc entre les parallèles z^ et .^2, avec

une vitesse azimutalc -r- inversement proportionnelle à

^, comme dans les exemples précédents.

Le cas où la vitesse initiale serait dirigée suivant la tangente au méridien et où le mobile ne sortirait pas de ce méridien se rapporte au mouvement sur une courbe; il se déduit des calculs précédents en y faisant c = o et, par suite, Z2 =^ o, Tautre racine

Si, j)ar exemple, \-n) > Oy z croît, le mobile atteint le

point ; = ;,, alors -^ = o, v^ = o; -^ change ensuite de signe, et le mobile se dirige avec une vitesse croissante

MOUVEMEI^T d'un POINT SUR UNE SURFACE. 269

vers le sommet de la parabole; au moment où il ratteinl, sa vitesse est maximum, et il oscille indéfiniment entre les deux points de la parabole qui ont Zi pour ordonnée.

43. Un point matériel pesant, assujetti à se mouvoir sur la surface d^un paraboloïde de révolution

z = =^> dont l axe est la verticale O z. est repoussé

par cet axe proportionnellement à la distance. Etudier le mouvement du point, sachant que la vitesse initiale

est horizontale et que -So = 7*

(Dijon, juillet 1880.)

Procédant comme dans les problèmes précédents, on arrive à

— = — î- — i'xz — a)\\

-r-r = —^ ('>'Z — a)[lZ -^

dl^ a -h xz \ a\ï.—

dr^ ojx — g r^{r^—a^) / avl

d^^ rtcj r^-t-a^ \ «(A — A"

Les circonstances du mouvement dépendent du signe de a\L — ff.

1" «[x — g^o. — Le mobile décrit une spirale en s'élevant jusqu'à Pinfini, avec une vitesse croissante, sur la surface du paraboloïde; la loi du mouvement est définie par le principe des aires projetées.

2" ay. — ^ = o. — Le mouvement est de même nature ([ue dans le cas précédent; les formules deviennent

dz^ __ vl{2z — a) dt* 2z-ha

dr^ r^{r^ — a*), elles sont intégrables, et la vitesse est constante.

26o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

3** auL — g <C.o, — La trajectoire est une courbe festonnée, comprise entre le parallèle du point de départ et le

parallèle Zi = - , — ^ r: la vitesse va en décroissant

quand z croît. Enfin le mobile décrit un parallèle si

Il n'est pas nécessaire, dans le problème actuel, de calculer la réaction de la surface sur le mobile pour connaître le sens dans lequel elle agit; il y a, en effet, équilibre entre cette force, les forces extérieures et les forces d'inertie tangentielle et centrifuge, qui sont toutes extérieures à la surface ; la réaction est donc constamment dirigée vers l'axe.

44. On considère la surface de révolution engendrée par une hyperbole équilatère ayant une asymptote verticale et tournant autour de cette asymptote, 0^^ demande le mouvement d'un point pesant j assujetti ^^ demeurer sur Vune des deux nappes de cette surface.

(Paris, juillet 1877.)

On a les équations

rz = a2, /'S ^ = c, (;2 = p2 ^ ^^(^j^q—z) = b — igz,

^â /^^^ — '^cC^ gr -

c dr \/a* -4- r'*

H ^br'^ — 2 a2 gr — c^

1° La position initiale du mobile est sur la nappe supérieure, Zq':> o, 6 > o; les racines du trinôme

br^ — la^gr — c^ =

sont l'une, ri, positive et l'autre négative, on doit avoir r^r^\ r croît jusqu'à l'infini, soit dès l'origine du mouve-

MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 26 1

ment, soit après avoir louché le parallèle Ti, suivant que

2® Le point se meut sur la nappe inférieure. Prenant alors la direction positive de Taxe des z dans le sens de la pesanteur, il suffira de changer le signe de g dans les formules précédentes, ce qui rend b susceptible de signe.

Si 6^0, le mouvement est le même que dans le cas précédent.

Si 6 <! o, le trinôme br^-\- ia^ gr — c- a ses deux racines Ti et ri positives et séparées par r = rQ^ qui rend nécessairement le trinôme positif. Le mobile oscille constamment entre les parallèles de rayons r^ et ro.

Dans ce dernier cas, le mobile décrit le parallèle Tq si les deux racines sont égales à Tq» ce qui exige

c'est-à-dire quand la vitesse Vq, étant horizontale, est celle qui serait due à la chute ^^o«

45. On considère la surface engendrée par une cycloïde ACB, tournant autour de sa base AB. Un point matériel M, non pesant, est assujetti à rester sur cette surface que l'on suppose parfaitement polie ; le point M est soumis à l'action d'une force perpendiculaire à AB, dirigée vers AB, et dont l'intensité est proportionnelle à la distance r du mobile à AB. Déterminer le mouvement et discuter les différents cas qui peuvent se présenter. Fixer les limites entre lesquelles r peut varier,

(Paris, juillet 188 1, i*^* question.)

Le mouvement est déterminé par les équations

(i) r2 ^ = c* = To t'o cos e,

(2) v^ =vl-^ \j.{rl — 7-2) = b^-— (AT-Z,

dans lesquelles e désigne l'angle de t'o avec la tangente au parallèle du point de départ, et b^ la quantité <^^-l- ;-«./;;.

Or, pour la cycloïde, on a -j^ = l/ > a étant 1er

rayon du cercle générateur, d'où

2 a dr^ c* , , ia— r dV^ ^2 «^

et enfin

dr v/( '}. a — /• )( — ;JL r* -^ b'^ r^ — cM "^ ryna

dz I

"^ yiar

=iz -I- = c2 sjia

dr r^{ia — r)(~ \x.r'*^ b^r'^— c'*)

Comme la quantité 2<7 — /■ est au moins égale à zéro,

le polynôme

doit être positif ou nul, ses racines en r- sont donc nécessairement réelles, positives et séparées par r^ ; vérifions-le directement

b'- — \ IXC'* = {^l-^ [Xrl )2 — 4 {J./'2 p2 cos2 Z

=- (^0 - J^'l )'-+- 4li./',2 i>l sin2s > o; tandis que P est négatif pour r^ nul et r^ suffisamment

grand.

La nature du mouvement dépend de la grandeur de la plus grande racine r^ de l'équation Pi=ro; suivant que r = 2a rendra P positif, nul ou négatif, c'est-à-dire selon

MOUVEMENT d'lN POINT SUR UXE SURFACE. a63

que Ton aura

/', sera supérieur, égal ou inférieur à a a.

1° Fi <<; 2a. — Le mobile oscille entre les parallèles rt et r2 situés du même côté de Téquateur de la surface que le parallèle Tq. Il décrira ce parallèle si Ti = r2, ce qui exige £ = o et çl=z^rl\ ces conditions, auxquelles on peut être conduit directement, expriment que la force d'attraction et la force centrifuge sont égales et directement opposées : la réaction de la surface est alors nulle.

Toutefois, si le mobile est primitivement placé sur l'équateur, la condition z = o suffit pour qu'il décrive ce parallèle, seulement la réaction n'est plus nécessairement nulle, elle prend une valeur constante qui dépend de Tq.

2° r, z=2a. — Le mobile décrit une spirale asymplolîque à l'équateur, après avoir touché le parallèle ^2 si

\di) ^^' ^' n'arrive, en effet, à l'équateur qu'au bout d'un temps infini, car si l'on considère la fonction

elle devient - ^ et son produit

(•jta — /•) \J^{'ia -h r) ( r^ — r| )

par ia — r a, pour r = ia^ une valeur finie. Dans ce cas, le problème se ramène aux fonctions elliptiques.

Ce résultat était très probable; si, en effet, le mobile atteignait l'équateur au bout d'un temps fini, les composantes -F- et -r- de la vitesse devenant alors nulles, le dt dt '

mobile décrirait l'équateur avec la vitesse constante ; — > la vitesse, après avoir été fonction du temps, se réduirait à

une constante; de pareilles fonctions ne se présentent pas en Mécanique.

3° Ti > aa. — Le mobile oscille entre les deux parallèles de rayon r2 situés de part et d'autre de l'équateur.

Au moment où il passe à l'équateur --j- s'annule, parce que r est maximum, sa vitesse devient minimum, mais il franchit toujours l'équateur, parce que -r- n'est pas nul.

46. JEn un point O de la surface de la Terre, situé à la latitude X, on considère un plan poli P supposé vertical et perpendiculaire au plan méridien. Un mobile pesant assujetti à demeurer dans le plan P est lancé du point O avec une vitesse initiale donnée. Etudier le mouvement du mobile dans le plan P, en tenant compte de la rotation de la Terre. Calculer la réaction

du plan.

(Nancy, juillet i88o.)

L'élude du mouvement relatif d'un point se ramène à celle d'un mouvement absolu pourvu qu'aux forces réellement agissantes on ajoute : i° la force d'inertie d'entraînement ou réaction du point contre le mouvement qu'il tend à prendre avec le système de comparaison, en le regardant comme invariablement lié à ce système, dans la position qu'il occupe à l'instant considéré ; 2° la force centrifuge composée qui est égale et directement opposée au double produit de la masse du point par la vitesse de rotation de l'extrémité de la vitesse relative, issue de la rotation instantanée (o des axes mobiles et tournant autour de lui.

Dans le cas qui nous occupe, la vitesse angulaire cj est

constante et égale à =: 0,0000729; de plus, la force

composée étant nulle pour le repos relatif, la résultante de

MOUVEMENT D'uN POINT SUR UNE SURFACE. 205

rallraction de la Terre et de la force d'inertie d'entraînement est la quantité que Ton appelle g^ et sa direction est celle du fil à plomb ou verticale apparente du lieu qui détermine également la latitude. Pour traiter les mouvements à la surface de la Terre comme des mouvements absolus, on n'a donc plus à s'inquiéter de la force d'inertie d'entraînement, mais simplement de la force centrifuge composée dont les composantes parallèles aux axes du système de comparaison ont pour expression

[ dz dy\ / dx dz\ / dy dx\

-\^Tt-''Tty -^y-^-PTty -^[Pdi-iTt)'

p^qelr étant les trois composantes de la rotation (o. Nous prendrons pour origine le point de départ, pour axe des X la tangente au méridien dirigée vers le pôle sud, pour axe des y la tangente au parallèle vers l'est et pour axe des z la verticale descendante (*); la partie positive de l'axe de rotation de la Terre étant dirigée vers le pôle sud, on a

les composantes de la force centrifuge composée sont donc

. ^ dy I ^ dz . . dx\ ^ dy

2tosinA-y-, 2a)|cosA-7 sinA -r- j» — 2 0) ces A -j-»

dt \ dt dt J ai

Les équations du mouvement d'un point sur lequel agit une force (X, Y, Z), rapportée à l'unité de masse, sont

(') Les axes ainsi choisis constituent le système direct, c'est-à-dire tel que la rotation positive autour de O-s ait lieu de x vers^. Les formules

u — qz — ry^ ç =z rx — pz, w — py — qx^

qui donnent les composantes de la \itesse du point {x,yfZ) dans la rotation {p,q,r), supposent ce choix d'axes; avec le système inverse elks devraient être changées de signe.

donc

d*z dy

Dans le problème proposé, les formules (i) deviennent,

i ,r . ^ dy

i\ -t- 2 0) sm A -4- =0, l dt

, . ^ d^y dz

(2) , __=2,,C0SX^,

d^z . dy

elles supposent, comme les précédentes, que le mouvement étudié est assez peu étendu pour que la direction de g et par suite la latitude puissent être regardées comme constantes; nous admettrons également que g est de grandeur constante, ce qui permet d'intégrer les équations (2)

-7- = i'r-T- lOùZ COS A,

d'où, en posant 2ojcos)x = /?,

y — — '■ !- A Qosnt -t- B sin/?/:

Y — COS 7it -h { -^ smntj

n n \ Il n- '

z — ■- -'- r H — - s>\ïint -^ ( -^ COS nf,

n n'^ n \ Ji iV- ;

N = — tangX[.^ -f- iw- sxxvnt -\- n\\- — f:)cosnt\

MOUVEMENT d'uN POINT SUR UNE SURFACE. 367

Si, à cause de la petitesse de /?, on néglige son carré, ces formules deviennent, en développant sinnt et cosnf,

N = -- 2toiy sinÀ.

Le mobile dévie vers Test et sa chute est retardée. Si la vitesse initiale est nulle,

la courbe décrite est une parabole semi-cubique. Si l'on suppose la vitesse initiale dirigée de bas en haut

t^r = 0, V- = — Po,

le mobile atteint le point le plus élevé de sa trajectoire au lïout du temps

Il — — y ^i — — fl ,

^t V redevient nul pour / = — -; la valeur de y est alors

itiivl cosX t ^ , /8 A^ r = — -î — -^— =— ^^(si cos A 1 / :

'e mobile tombe à Touest du point de départ à une distance égale à quatre fois Técart vers l'est que le point aurait eu en tombant en chute libre de la hauteur maximum du jet.