CHAPITRE V
47. Etant donnés trois axes rectangulaires et une portion de droite matérielle homogène, dont une extrémité est à V origine et dont la longueur et la position par rapport aux axes sont données :
1° Déterminer V équation de V ellipsoïde central de cette droite par rapport à V origine;
2° Déterminer la longueur du pendule simple iso~
chrone au pendule composé qui serait formé par cette
droite matérielle oscillant autour de sa projection sur
le plan des xy .
(Lille, juillet i865.)
L'équation générale de l'ellipsoïde d'inertie d'un corps par rapport à Porigine est
— lyz 2 myz — izx^nxzx — 'ixy^ mxy ;
or, si l'on désigne par / la longueur de la droite donnée A et par a, j3, y ses angles avec les axes, on a
/2(cOS2 3-{-COS2y)û?/= (cOS2J3-|-COS2y),
/2 cos p cos ^(dl = — cos 3 cos Y ;
l'équation de rellipsoïde est donc
— = ^^^(cos^^H- cos2y)^-J*(cos»y -h cos»a)-+-;;î(cos*a -4- cos*[ii)
— ^yz cos^ cosy — a^sar cosy cosa — 2Ty cosa cos^
ou
— = x^-^y^-h z^ — (xcosoL-^y cosp -h -3 cos^ )2
= r2 — r^ cos*(r, A) = r* sin2(r, A),
r étant la distance à Torigine d'un point quelconque de rellipsoïde. Cette surface est un cylindre circulaire droit,
ayant la droite donnée pour axe et {/t; pour rayon.
La longueur L du pendule simple isochrone est, si l'on représente par a la distance du centre de gravité de la droite de masse / à l'axe d'oscillation
or
/' a = -j Icosy, Ia = £»i^2 = cos'Y)
d'où
L = f / cosy.
48. Les axes OX, OY, OZ étant invariablement liés à un corps solide et Vaxe OZ étant fixe dans V espace, on donne par rapport à ces axes les coordonnées Xi, y i du centre de gravité du solide et les valeurs D, E des sommes ^myz^ ^mxz.
Le solide étant supposé tourner autour de OZ avec une vitesse angulaire (o, sans être sollicité par aucune force extérieure, on demande :
i^ De trouver quelle relation il doit y avoir entre les données D, E, X\ et y^^ pour que les pressions exercées sur Vaxe aient une résultante unique;
2° De calculer, quand cette relation est satisfaite, la valeur de la pression résultante ;
3® De former, par rapport aux axes mobiles OX,
OY, OZ, les équations de la droite suivant laquelle elle
est dirigée.
(Paris, août 1872.)
Soient
M la masse du corps;
X, Y les composantes de la réaction d'un point A de Taxe
situé à la distance J^ de Torigine; X', Y' celles d'un second point A'; Z la réaction de Taxe dans le sens longitudinal.
Vppliquant au système le principe de d'Alembert et remarquant que toutes les forces d'inertie sont centrifuges,
puisque, en l'absence de force extérieure -j- = o, on a
les cinq équations
\ -t-X'-4- i'\U'ito2= c, Y-1- Y'-T-Mjito2 ^o, Z = 0,
qui déterminent les réactions de Taxe.
i"" La condition générale pour qu'un groupe de forces cp, qui ne se réduit pas à un couple, ait une résultante unique est
or
V cp^. = X -^ X' = — M X^ 0)2,
vcp,, = Y-^Y'=:-M7,co^ 2çp- = o; vOllL^cp =.YC — Y'C = Da)2,
:î:orL^cp ^xî-hX'ç'= — Ew2,
la condition cherchée est donc
— MDa^i o)*-!- ME vi to'^ — <>,
2'' La pression résultante est
elle est égaie et de sens contraire à la force d'inertie qui serait due à la rotation du centre de gravité auquel on aurait condensé toute la masse du corps.
3° Des équations
P, = o, Orc-P = o,
on déduit que cette force est parallèle au plan XOY el qu'elle rencontre OZ, ce qui était évident; sa projection sur XOY a donc pour équation
enfin son ordonnée z doit satisfaire à la fois aux deux équations
ce qui donne pour z
M71 M xi
valeur unique en vertu de Téquation de condition (i).
49. Une plaque pesante y homogène, infiniment mince, d^ égale épaisseur et dont la for me est celle d^ un triangle rectangle, peut tourner dans un plan vertical autour dhin axe perpendiculaire à ce plan et passant par le sommet de l'angle droit. Déterminer :
1® U angle que fait Vun des côtés de V angle droit avec V horizontale située dans le plan d^ oscillation de la plaque quand la plaque est en équilibre;
2° L^ amplitude des oscillations que la planque exécute lorsqu^on V abandonne à son poids après avoir amené le côté considéré dans une position horizontale.
(Toulouse, novembre 1880.)
Le centre de gravité G du triangle étant sur la médiane AI {fig^ 19) et le triangle AIB étant isoscèle, le côté AC
fait, avec riiorizontale AH, un angle égal à B; Tamplitude des oscillations sera 2B ou 7: -[- 2B, suivant que Ton aura amené AC ou AB à coïncider avec AH pour abandonner ensuite le triangle à son poids sans vitesse initiale.
Pour calculer le moment d'inertie I^ du triangle relativement à Taxe d'oscillation, nous prendrons la médiane AI pour axe des x et une parallèle à l'hypoténuse pour axe des y\ soit 9 l'angle des axes, on a
Ia = / / (a72-f- j^a.^. 2a:jcosO) sinO ^J7c{^
= sinO / dx j {x^-hy^-\- 2xycos^) dy
= — sinO = —r- 24 6
MOUVEMENT d'lN CORPS SOLIDE. SijS
La longueur L du pendule simple synchrone est
50. Un rectangle matériel homogène de niasse M et de côtés a et b est mobile autour de Cun de ses côtés by lequel fait avec la verticale un angle a ; ce rectangle, immobile sous V action de la pesanteur, vient à être choqué par un point matériel de masse m qui le rencontre normalement avec une vitesse donnée v^ en un point situé à une distance l de Vaxe de rotation, et se réunit à lui après V avoir choqué. Déterminer : i" le mouvement initial du rectangle; 2° le mouvement ult(''
rieur,
(Lille, novembre 1868.)
Le théorème des moments des quantités de mouvement et des impuisions des forces extérieures appliqué à la période de choc donne, en appelant Wq la vitesse angulaire du système à la lin de cette période,
a)o(/n/*-h Smr^) — mvi = o,
mvl
Wn =
Le mouvement ultérieur est celui d'un pendule simple de longueur
(m/ -^ i Ma) sina
51. Étudier le mouvement d'un disque circulaire homogène pesant de masse M et de rayon a, situé dans un plan vertical et assujetti à glisser sans frottement sur une circonférence de cercle fixe de rayon R > 2 a
ViLLiÉ. — Compositions. 18
274 DEUXIÈME PARTIE. — CUAPITRE V.
située dans ce plan. Calculer la pression normale du disque mobile sur la circonférence,
(Paris, juillet i883, i" question.)
Si l'on prend pour origine le centre de la circonférence et pour axe des^ la verticale descendante, que Ton désigne par N la réaction de la circonférence sur le disque, comptée dans le sens du rayon, et par r la quantité R d= a, suivant que le disque est extérieur ou intérieur à la circonférence, le mouvement du centre de gravité ou centre du disque est donné par les équations
ce sont les équations du mouvement d'un pendule simple de longueur r.
La réaction est donnée par l'équation
la pression du disque mobile sur la circonférence est donc
Quant au mouvement du disque relativement à des axes en translation avec son centre de gravité, c'est celui d'un corps solide qui tourne autour d'un axe fixe et qui n'est soumis qu'à l'action de forces rencontrant cet axe ; il s'effectue donc avec une vitesse angulaire constante o). On peut encore rechercher quelle est la vitesse de glissement du disque sur la circonférence ; elle est représentée par la vitesse absolue du point de contact qui est la résultante de sa vitesse d'entraînement ou vitesse v du centre du disque
et de sa vitesse relative dbato; elle a donc pour expression, en la comptant dans le sens direct,
le signe du premier terme dépend du sens de l'oscillation et celai du second de la position extérieure ou intérieure du disque mobile relativement au cercle fixe.
52. Déterminer le mouvement d'un corps solide pensant dont les molécules sont sollicitées vers un point fixe O par des forces proportionnelles à leurs masses et à la
distance au point fixe.
(Paris, novembre 1872.)
Je prends le point O pour origine et une verticale pour axe des z\ soient Xy y^ z les coordonnées du centre de gravité du solide, les attractions de O sur les divers points ont une résultante passant par le centre de gravité, puisque ses composantes sont — \k^mXy — ^^i^iy, — ^^mz. On a pour le mouvement du centre de gravité
or, si l'on transporte Torigine au point z = -^, ces équa-
tions deviennent celles du mouvement d'un point attiré par l'origine proportionnellement à la distance. Le mouvement en projection sur chaque axe est un mouvement oscillatoire connu. La trajectoire est une ellipse ayant pour centre la nouvelle origine et dont le plan passe par la vitesse initiale du centre de gravité. Quant au solide, il tourne autour de son centre de gravité comme autour d'un point fixe et sans forces extérieures.
53- On considère deux points matériels non pesants, de masses m et m\ assujettis à se mouvoir sans frotte-
ment dans deux plans différents, mais parallèles y et maintenus à une distance invariable Vun de Vautre par une tige dont on néglige la masse. Ces deux points sont soumis uniquement à V action d'un centre fixe qui les attire proportionnellement à leur masse et à leur distance. On demande le mouvement du centre de gravité des deux points et le mouvement de ces points rapporté à leur centre de gravité. On indiquera pour quelles conditions initiales le mouvement des deux points sera le même que sHls n'étaient pas reliés l'un à C autre par la tige solide.
(École Normale, juillet 1878.)
On reconnaît immédiatement que le centre de gravité décrit une ellipse dont le centre est sur la normale aux__ plans fixes menée par le point attirant.
Le mouvement relatif du système des deux points est celui d'un solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe, normal aux plans donnés, et qui est soumis aux réactions des deux plans ; ces deux forces étant parallèles à l'axe de rotation, le mouvement angulaire est uniforme. Soit to cette vitesse angulaire, les formules qui donnent le mouvement du centre de gravité et celui des deux points sont, en prenant l'axe des x parallèle à la projection de la position initiale de la tige sur les plans donnés,
X = a cos [x^ -h a' sin [x#, Y = 6 cos (JL ^ -j- 6' sin |x ^ ;
37 = X -+- r cos 0) ^, ^ = Y-H rsino)^, x =1L — r'coso)/, j^'=Y — r'sinto^;
dans lesquelles r et r' désignent les rayons des circonférences décrites par les points m et ml dans leurs mouvements relatifs. Pour que ces points se meuvent comme
MOUVEMENT D'Ux^ CORPS SOLIDE* 277
s'ils étaient indépendants, il est nécessaire et suffisant que l'on ait (1) = [JL.
54. Une sphère homogène est posée sans vitesse sur un plan horizontal; trouver le mouvement de cette sphère, en supposant tous les éléments qui la composent attirés proportionnellement à la distance par un point fixe O du plan. L'adhérence de la sphère au plan horizontal est supposée telle qu'elle ne puisse que rouler sans glisser.
Les données sont le rayon R de la sphère, la distance a du point de contact initial au point O et V attraction [JL- que ce dernier point exerce sur V unité de
masse à l'unité de distance.
(École Normale, juillet 1873.)
Le centre de la sphère décrit rhorizoatale qui passe par sa position initiale et coupe la verticale du point O, tandis que le mouvement relatif de la sphère est un mouvement de rotation autour d'une horizontale perpendiculaire à la première. Si F est la force de frottement, le mouvement du centre de gravité est donné par l'équation
or l'accélération angulaire de la rotation relative est donnée
par la formule
dt^ I
I étant le moment d'inertie de la sphère autour d'un diamètre; d'où
F- 1 ^ - JL ^ - 2 ^
et enfin
~dt^
+ 1 [jL2a? = o;
X = a cos
c'est l'équalion du mouvement rectiligne d'un point attiré par l'origine avec la force | [a- j;, le mouvement est oscillatoire,
r\ ijr / ^
et la durée d'une oscillation T = — I/t*
Reprenons la même question en supposant le centre de gravité animé d'une vitesse initiale. (De Saint-Germain, Recueil d^ exercices sur la Mécanique rationnelle.)
Au point de contact de la sphère et du plan, la sphère éprouve une réaction dont les composantes sont X, Y, Z; on a, pour le mouvement du centre rapporté à des axes rectangulaires passant en O, l'axe O^ étant vertical,
1 ni-j— =— m\j.^x-{-\,
V o = 771 {Jl2 R h- 77lg Z .
Pour étudier le mouvement de la sphère autour de son centre C, nous mènerons par ce point des axes parallèles aux axes fixes; soient /?, q, r les composantes de la rotation autour de ces axes : le théorème des moments des quantités de mouvement par rapport à ces axes, en remarquant qu'ils sont constamment axes principaux de la sphère et que les moments de la résultante des forces attractives et de celle des forces d'inertie d'entraînement sont nuls, donne trois nouvelles équations
(.) |mR^g = RY, |„.R=g=-RX, J = o.
Il faut encore deux équations pour pouvoir déterminer nos inconnues x, jk, X, Y, Z, /?, q^ r; on les obtient en écrivant que la vitesse du point de contact B est nulle ; ses
MOUTEIEKT D*tJ!¥ CORPS SOUDE. 279
projections sur Ox et O k sont les sommes des projections de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative
Ces équations permettent de remplacer les deux premières du système (2) par les suivantes :
éliminant X et Y entre ces équations et les deux premières du groupe (i), il vient
Ce système connu montre que le point C décrit une ellipse dont le centre est sur O^; comptons le temps à partir du passage à l'un des sommets, et supposons qu'alors ^ = 0, x = c, i' = A, les intégrales du mouvement seront
Les équations (3) donnent
/? = — - cos
/i,, ,.-^^^si„^,,;
quant à r, c'est une constante. Il résulte de ces formules que, si l'on mène par l'origine une droite qui, à chaque instant, représente en grandeur et en direction l'axe de la rotation instantanée, le lieu des extrémités de cette droite sera une ellipse horizontale.
Les équations (4) et (5) nous donnent les composantes horizontales de la réaction du plan
X = Y (x2 mx, Y = f (x* my,
La résultante de ces deux forces est dirigée suivant OB
28o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE Y.
et égale à y [x^mOB; pour que le mouvement ait lieu sans glissement, comme on l'a supposé, il faut qu'elle soit inférieure à Z mullipliée par le coefficient de frottement
?lxîOB</(^-HHL»R).
oo. Déterminer le mouv^ement d'une baguette rectiligne pesante homogène, dont les extrémités sont assujetties à glisser sans frottement Vune sur une droite horizontale Ojc, l'autre sur une droite verticale Oy.
On calculera les pressions exercées par la baguette
sur les deux droites.
(Paris, août 1871.)
Le mouvement de la tige sera défini par l'angle variable 6 qu'elle fait avec la verticale; le principe des forces vives fournira une équation diff^érentîelle du premier ordre, propre à déterminer cette unique inconnue.
Soient
M la masse de la tige;
/ sa longueur;
V la vitesse de l'un de ses points dont la masse est m et dont les coordonnées, rapportées aux deux droites fixes, sont désignées par x etjK^
/• la distance du point m à l'extrémité de la droite qui s'appuie sur Oj^;
Xi, y^ les coordonnées du centre de gravité;
a sa distance à la même extrémité.
On a S mp2 = c — 2 2 mgy = c — x M gy^ = c — 1 Mga cos6.
On a d'ailleurs
.r = /'sin6, y = {l — /')cos6,
^' ~ ~/7» ~ dt^ '
donc
dt^
2/n[r'H-(/* — 2//')sin*6] = c — aM^acosô.
a = -» 2 mr^ = 1 r^ dr = -^r- 2 .L 3
Cette équation, qui s'applique quelles que soient les lois de répartition de densité et d'épaisseur de la droite, se simplifie notablement si Ton suppose la barre homogène et d'épaisseur constante. La masse m de chaque élément peut alors être représentée par sa longueur dr et la masse M par /; on a
2m(/»— 2/r)sin*e = sinsô Ç {l^—ilr)dr=o.
L'équation du mouvement se réduit donc à
elle coïncide avec celle qui déterminerait les oscillations d'un pendule simple de longueur | /.
Pour calculer la pression horizontale P^ sur O^ et la pression verticale P2 sur Ojc, posons les équations du mouvement du centre de gravité
d'où
-, Ml/ .d^^ . .^/On
P,= M^--(^smô^-i-cose^-j;
or, en dérivant l'équation du mouvement de la tige, on a
il d^^
— er «in H •
substituant dans les valeurs de P| et P2, on arrive finalement à
P, = f M sine(3^ cose — 2c),
P, = Mi: -t-f Mcose(3^cose — 2c),
DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. a83
