CHAPITRE VL

56. Un cylindre de rayon r et de moment d'inertie 1 par rapport à son axe, est mobile autour de cet axe supposé fixe et horizontal. Sur ce cylindre s'enroule un fil sans ma^sCy supportant à ses deux bouts deux poids cylindriques de même diamètre, mais de masses inégales m et m!. Ces deux poids éprouvent de la part de l'air une même résistance olv^, proportionnelle au carré de leur vitesse commune v. Trouver le mouvement de ce système, en négligeant le frottement du cylindre contre l'air et contre ses appuis.

Examiner le cas particulier où les masses m et m' seraient égales et où le cylindre serait animé, à Vorigine du temps, d^une vitesse de rotation donnée too-

(Paris, novembre 1869.)

Diverses méthodes peuvent être employées pour l'étude du mouvement d'un système à liaisons :

I® On applique les équations générales du mouvement à chacune des parties du système considéré, ce qui implique l'introduction des forces de liaison que Ton élimine ensuite ;

2° L'emploi des théorèmes généraux de la Dynamique qui n'introduisent pas les liaisons et sont applicables au

système considéré, peut souvent fournir un nombre suffisant d'équations pour déterminer le mouvement de ce système.

3° La méthode de Lagrange a, sur les précédentes^ les avantages suivants : elle n'introduit pas les liaisons comme la première méthode, et elle conduit toujours, par des moyens purement analytiques, au résultat que Ton cherche, mais elle donne des équations différentielles du second ordre; c'est pourquoi on lui préfère quelquefois la seconde méthode, qui fournit généralement les intégrales premières du mouvement.

4" Une autre méthode, dont celle de Lagrange n'est au fond que la traduction analytique, est basée sur l'application simultanée du principe de d'Alembert et de celui des vitesses virtuelles. On écrit que, pour tout mouvement élémentaire compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant considéré, la somme des travaux virtuels des forces extérieures et intérieures (non compris les forces de liaison dont le travail dans ce déplacement est nul) et des forces d'inertie est nulle.

Nous emploierons toujours cette méthode pour les systèmes à liaisons complètes; elle revient alors à poser que, pour un déplacement élémentaire ou fini, mais réel du système, le demi-accroissement de force vive est égal à la somme des travaux des forces réellement agissantes, quand les liaisons sont indépendantes du temps; cette condition est indispensable pour que le théorème du travail ainsi conçu soit applicable à un système à liaisons; on sait, en efiet, que le mouvement réel ne doit être considéré comme étant compatible avec les liaisons supposées immuables que quand le temps ne figure pas explicitement dans les équations de liaison.

Nous appliquerons cette dernière méthode au problème qui nous occupe. Soient m > ni! ^ x et j;'les distances Om,

DYNAMIQUE DES SYSTÈMES. a85

0' m! (Jlg* 20) comptées dans le sens de la pesanteur; Vo la vitesse initiale de m que nous supposerons d'abord

FiîT. ao.

rny

OlV

positive ou nulle; le mouvement aura lieu dans le sens indiqué, le travail de la pesanteur appliquée à la poulie seia nul, son centre de gravité étant sur l'axe de rotation, enfin celui de la force d'inertie de la poulie aura pour valeur absolue

d'où l'équation

dt^ dt^ r^ dt '

\mg — 7,v^ — m -^\ ox Or de la relation

on déduit