Une barre homogène et très mince, reposant sur
un plan horizontal par J alternent poli, est choquée par ^
une bille dont la vitesse est perpendiculaire à la barre; \
en supposant les deux corps parfaitement élastiques, ,
on demande le mouvement quHls prendront après le
choc.
(Gaen, novembre i88o.)
Soient
M la masse de la barre ;
2/ sa longueur;
p sa masse par unité de longueur;
a la distance du point choqué au milieu O de la barre;
Vq la vitesse initiale de la bille de masse m ;
Et à la fin du choc :
V la vitesse de la bille;
V celle du centre de gravité O de la barre ;
0) la vitesse angulaire de la barre autour de O.
Les forces qui agissent sur le système étant intérieures à ce système, les projections et les moments des quantités de mouvement n'ont pas changé pendant le choc, puisqu'il n'y a pas de force extérieure. Il en résulte d'abord que, Pq et V étant de même direction, il en est de même de V; si donc on projette les quantités de mouvement sur la direc-
dtxàmiqub des ststèxes. 333
tion de la normale à la barre et qu'on prenne les moments autour de O, on a les équations
(i) mvo = mv -+- MV,
(2) niavQ = mav -r- 2 / p dr. r* w = mav h-
Enfin^ les deux corps étant supposés parfaitement élastiques, la période de choc présente deux phases dans chacune desquelles les sommes des travaux des forces développées par le choc sont égales et de signes contraires; exprimant donc que la force vive du système n'a pas changé, on a l'équation
J=/nt^ï-f-/ pû?r(VH- r(«>)2-H / p dr(\ — rtay
mv^
ou
(3) mçl=mv^-^M(\i-h
Eliminant Vq — t^ entre (i) et (2), on a
aV=— , puis successivement
m{i^l - (^3) = MV« (i-^- ^\ = A:MV«,
d'où
mk — M -, 2 m 6/naPo
^ = — , ■ », Voy > = — 7— —77 ^^0, w =
mk-i-M ''' mÂ:-hM "' l^imk -^ M)
74. Montrer comment varie le moment dHnertie d^un cube homogène par rapport aux diverses droites qui passent en un sommet O du cube; déterminer les axes principaux et les moments principaux dHnertie relatifs au point O.
On suppose que le sommet O estfixe, tandis qu^ aucun autre point n'est soumis à V action de forces extérieures; le cube, libre de tourner autour du point O, est d'abord en repos lorsqu'une des faces qui aboutissent au sommet fixe vient à être choquée, en son centre, par une très petite sphère, animée d'aune vitesse de translation donnée perpendiculaire à la face choquée. On demande le mouvement que prendront^ après le choc, les deux corps supposés parfaitement élastiques.
(Gaen, juillet i883.)
L'ellipsoïde central relatif au centre de gravité C du cube se réduit à une sphère, et, si 2<2 est la longueur de l'arête du cube, M sa masse, le moment d'inertie autour d'une droite quelconque passant en C est |Ma-. Le moment d'inertie I relatif à une droite passant en O est, si l'on appelle d la distance de C à cette droite,
J = f Ma2-HM6/2;
il est minimum pour d=o, c'est-à-dire pour la diagonale. OC du cube et maximum pour toute direction normale à OC, d=a^; le valeur de ce maximum est y-M<7-. L'ellipsoïde d'inertie de O est donc allongé et de révolution autour de OC
Le moment d'inertie pour une droite OP faisant avec les arêtes du cube des angles a, p, y a pour expression
I = I Ma^H- M[3a2— «^(cosa h- cosp -H cosy)2] = •iMa^{^ — cosacosp — cosacosy — cos^ cosy).
L'axe de la rotation instantanée due à la percussion est le diamètre de l'ellipsoïde d'inertie de O, conjugué du plan qui passe par la vitesse initiale ç^o de la sphère de masse m et le point O ; or ce plan contient OC : c'est donc un plan principal ; l'axe de la rotation instantanée est, par
suite, normal à la droite qui joint O au centre de la face choquée et dans le plan de cette face. Cet axe, étant d'ailleurs axe principal de Tellipsoïde, est axe permanent de rotation^ et la vitesse angulaire de rotation to est constante. Pour déterminer w ainsi que la vitesse t^ de la sphère après le choc, appliquons à la période de choc et à Tensemble des deux corps le théorème des forces vives et celui des moments des quantités de mouvement autour de l'axe de rotation; on a les équations
d'où et enfin
ma yji t^o = i^<^ /â i^ -h ^ M a* w ;
2 ^mço
tu —
la vitesse v est, en général, négative, puisque m est très petit; elle devient nulle pour ni:=^M, et positive si
ÉiNONCÉS DES SUJETS DE COMPOSITIONS DOIS'>'ÉS AUX FACULTÉS
