On propose de trouver V intégrale générale de l'équation
-7~ — '2 -T-~ -h K = Ae^-f- Be-^-i- G sin^H- D cosa;, ûto* dx^ -^
A, B, C, D étant des constantes.
(Paris, juillet 1870.)
ViLLié. — Compositions. 2
j8 première partie. — CHAPITRE II.
L'équation caractéristique est
o = a* — 2a«-hi = (a*— i)*; y = e*(Go4- Cix) + e-*(Cî-4- Ca^)
est donc la solution de l'équation dépourvue de second membre; il suffit d'y ajouter une intégrale particulière de l'équation avec second membre. Nous trouverons une portion de cette intégrale en substituant
yo= asinx -h bcosx:
on obtient
Mais la même méthode ne réussirait pas pour les termes Ae^+Yie~^ qui sont solution de l'équation sans second membre. Voici comment on peut procéder sans se servir de la méthode de la variation des constantes arbitraires, dont remploi est toujours assez pénible. Soit, plus généralement, l'équation
(£fn xr d^ — ^ V d^~^ V
-7-^ -î- Al -, 4 -^ A2 -7 '-- -I . . .-!- AffiT = Be^^
dx"^ dx'*^-^ dx'^-^ '^
et
son équation caractéristique, dont a est n fois racine- A l'équation proposée on substitue la suivante :
dm y d"i-'^r . d'n-'^y , ^ .
-Y-^ -1- Al -, 4 -^- A2 j V ^-.•- - A,„r — Bc*-^;
dxfn ^ dx'^"^ dx"^-^ '"-^ '
elle admet pour intégrale particulière ^ . , . j —- — y^> eJ^ sorte que
est une portion de l'intégrale; il n'y a plus qu'à faire
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. IQ
endre b vers a, ou e vers zéro, si Ton pose 6 = a -f- e. Or
ebx e^ Y i \ X \ x^
b — a)'* e" Le'* e'»"* i e'*~' 1.2
e i.2.3...(n — i) i.2.3...nj
(;r) s'annulant, quel que soit x^ pour e = o. L'expression de jko prend alors la forme
L 1.2... (n — i)ej 1.2... n) ^1'
ou, en introduisant de nouvelles constantes et faisant vendre ensuite e vers zéro,
Appliquant cette formule à l'exemple proposé, on trouve pour l'intégrale générale
7= ^Go-f-Giar-4- -^j 6^
-h ( G2-i- Ga^?-!- ^ ) e-^ -\- ^ sinar -i- ^ cosa?.
lo. Trouver V intégrale générale de V équation diff^f^entielle du troisième ordre
■ ''^ -T~ — 3 ^ -+-27 = (aa7-T-6)6^H-C6-2^.
! (Paris, juillet 1872, i** question.)
L'équation caractéristique est
= a' — 3 a -4- 2 = (a — i)*(aH- 2);
Ja solution générale de l'équation sans second membre est
y z= e^(G -f- C'x) -f- Ce-^^,
20 PREHIÈRE PARTIE. — CHàPlTRE II.
Nous diviserons la recherche de l'intégrale particulière en deux parties; nous considérerons d'abord Téquation
posons y ^- ze^y l'équation précédente devient
qui admet pour intégrale particulière
la solution générale de l'équation (2) est donc
r=^ [Cl -h dx H- (36 — a)x* H- a^3] .^ Ce-*^,
lo
Prenons ensuite l'équation
on pourrait en trouver une intégrale particulière en se servant de la formule du numéro précédent, mais ici, — 2 ' étant racine simple de l'équation caractéristique, on peut : procéder comme il suit. Au second membre de l'équation (4) substituons ce"*^,
jo = G"e-«^-f-
sera une portion de solution de cette nouvelle équation ; écrivons-la sous la forme
•^ n^ — ôn-x- '1
et faisons tendre n vers — 2, le dernier terme prendra la forme -; on obtiendra sa valeur limite en prenant le rapport des dérivées de ses termes par rapport à n, et faisant
ensuite /i = — 2 ; on a finalement
^ -^ exe-*'' •^ 9
L'intégrale générale de Téquation proposée est donc
y = ~ [Cl H- C,^ H- (3 6— a)r«-T-aa?3] -4- 1— f (G3 -t- car). lo 9
