Intégrer Inéquation différentielle linéaire
-~ 4- ia* -r^ -h a'^y — cosax.
(Toulouse, juillet 1880, a* question.)
L'équation caractéristique étant
o = a* -f-aa'a* -*-a* = (a-+-a /— i)*(a — a /— i)'
rintégrale générale de l'équation sans second membre est
y z= (Cl -f- Cix) cosax -{-(Ga -f- C^x) sin a:r.
La méthode de substitution employée au n® 14 pour trouver une intégrale particulière serait ici en défaut.
On pourrait ramener ce problème à un autre, précédemment traité (n° 14), en remplaçant, dans le second membre
de 1 équation proposée, cosaj; par On
peut aussi substituer à l'équation proposée la suivante :
dont l'intégrale générale est
cos b X
y = (Cl H- Cja:) cosaar -+- (C3 -^ Ci,x) sina^ 4- / r,^^— tTî
= (Cl -H Cix)cosax -^'{C^ H- d^x)s\nax
I cosbx - cosax {b-^ay (6 — a)»
Pour 6 = a, le dernier terme prend la forme infinie
I xsinbx 4a' 2(6 — a)
mais on peut encore écrire
y = (Cl -+- C2^) cosax -4- (Gs -4- G^ar) sinaa?
X sinax — sinbx "^ 80» b — a '
dont le dernier terme prend la forme - quand b tend vers a;
sa valeur limite étant — ^ ^ — > on a, pour l'intégrale
générale de l'équation proposée,
a?» cosarr
j^ = (Gi-h GiX) cosax -\- (Cz -h Ck^)siTïax-r — g— ^ — •
dx* dx "^^-^ x^
(Dijon, juillet i88o.) L'équation caractéristique est
et
y = (C,-hC^x)e^^
est l'intégrale de l'équation sans second membre.
L'emploi de la méthode de la variation des constante! arbitraires conduit aux équations
, / aKjt dGoX
/rfC, \ cb;
d'où
C, =— e->*(ar-SH-3ar->), Ci = c-»«(3 +a3r-»).
ÉQUATIONS DIPFÉRENTIELLKS. 23
L'intégrale générale est donc
d^y dy
x^ -j^ — '^^ -f- -\- iy = x^ -\- px -\r q,
(Paris, novembre 1882, i" question.)
Première méthode. — Cherchons d'abord l'intégrale de l'équation privée du second membre, en posant a: = e'; on arrive à l'équation
d^y dv
dt^ dt -^
dont l'intégrale est
La méthode de la variation des constantes donne ensuite
dC\ dCf
Ux cLx
d'où
c?Gi é/Cj x'^ -\- p X -\- p ^
dx dx ~~ x^ '
Ct= — x — p\osx-h ^
Solution générale :
j^ = - -H Gi^r -hCiX^-h (x^ — px) loga:.
Deuxième méthode. — En différentiant l'équation proposée, on trouve
y = Go-4-Cia7-h G2a7*+(ar* — px)\o^x.
Cette solution doit être vérifiée, puisqu'à Téquation donnée on en a substitué une plus générale; cette vérification conduit à la condition Cq := - •
Troisième méthode. — Posant y = xz, z satisfait à l'équation différentielle
qui s*intègre par deux quadratures successives. 19. Intégrer V équation différentielle
oLj p et Y étant des constantes données,
(École Normale, juillet 1878, 2* question.)
Posons, conformément à la méthode générale, x=e^; il vient, pour l'équation privée de second membre^
d^y d^y ,ody a,
L'équation caractéristique est
(a-4)3==o, d'où la solution
Pour trouver une intégrale particulière de l'équation nous poserons (n® 15)
^=« + pt + Y<'.
afs 8^* Y^»
