Trouver V intégrale générale de V équation

linéaire

d^y d^y dy __

dx^ dx^ dx ^ ^

(Paris, novembre i886, i" question.) L'équation caractéristique

a pour racines i et d= i, de sorte que cosir est solution de l'équation sans second membre.

Pour obtenir une intégrale particulière, on pourrait suivre la méthode du n® 16; il est plus simple de remarquer (n** 14) que si dz ki est racine /i^^™® de l'équation caractéristique, on trouve une solution de l'équation proposée en posant

j^o= x^i^a sinX:.r-t- b ces Ara?).

Dans le cas actuel, /i = r, A* = i , on obtient, en substituant ^o dans l'équation donnée et identifiant,

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. l3

d'où la solution générale

OÙ k est une constante donnée. Supposant k commensuràble, trouver toutes les valeurs de k pour lesquelles l'intégrale s'exprime en termes finis et indiquer le moyen de V obtenir,

Achei^er V intégration en prenant k= ^et supposant que la dérivée -^ soit nulle pour y:=±\J — i .

(Paris, juillet 1889, 2' question.)

Posant -^ z=p^ d'où -^ =p-£^9 l'équation proposée devient

dont l'intégrale est

yp-^^Kp^-"^)^

pt — i=^cy^k^

et le problème revient à intégrer la différentielle binôme

dx — dy{ I -h cy^^) *.

L'intégrale s'exprime en termes finis quand — 77» ou

encore — ,— est un nombre entier.

Avec les données particulières de l'énoncé, on a c = i, et l'expression à intégrer est

dx =

dy

l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.

on y arrive immédiatement en posant y = z^, et l'on ob-

tient