On considère V équation différentielle du second ordre
f{x) étant une fonction quelconque de x. Montrer qu^ on peut trouver une fonction F(w), telle qu^ en effectuant dans V équation précédente le changementde fonction y ^=^Y{u), V équation à laquelle satisfera la nouvelle fonction usoit une équation différentielle linéaire. Comme application, on recherchera V intégrale générale de (i), quand fi^x) = — — j«
(Paris, juillet 1888, a® question.)
Effectuant le changement de fonction indiqué, l'équation proposée devient
Déterminons F(a) par la condition que les termes en -t— , disparaissent ; on aura l'équation
(3) F(a)F^(M) = ir»(w);
en la mettant sous la forme
^"{u) I W(u ) F'(a) " % F(tt)"'
on a successivement
F'(m) = 2c v/F(m;, y = F(a) = {eu -h c')^,
ÉQUÀTIOIYS DIFFÉRENTIELLES. j5
et l'équation (2) prend la forme linéaire
ou, en disposant des constantes,
Dans le cas particulier de Ténoncé, cette équation devient
posant X = e^, elle se transforme en la suivante
d^u du u __ 'dW^'di "^4 ""'
d*où
w = e* (a -+- ht^ = sfxi^a -4- h loga?) et enfin (6) ^ = w2=: a7(a -+- ôlogir)'.
d^Y dv
. En général, l'équation différentielle
peut s'abaisser à une autre, d'ordre n — i , lorsqu'elle ne change pas en y changeant simultanément ^ en X^ et ^ en yP^y> Effectuant le changement indiqué, on doit donc avoir, \ étant une constante,
l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
Posons alors
d'où
dx = e^ dz, dy = e^^ ( mu -^ -^\dz\
d^ d^y dx dz r^ ,w F / n / n ^" d^u'\
, «^«/. / du d^u\
dx"^ -^ \ ^ dz dz"' }
Substituant dans l'équation proposée, e*^ sera facteur commun, en vertu de l'identité ( 2 ), et il restera une équation de la forme
-/ du d^u d^u\
dont l'ordre pourra s'abaisser d'une unité, puisque la variable ^ n'y figure pas.
Appliquons à l'équation donnée qui satisfait à la condition indiquée pour m = 2, A' = 4;ona
dx \ dz I dx^
^du d^u
d'où l'équation
/ / \ d^u , .du
qui admet la solution u = const. = c; ^ = cx^ est donc solution de la proposée. L'équation (4) donne successive-
ment
z = — log — ^ SI c = — a',
z = 0L-\ — arc tang si c = a',
d'où les solutions
y = x^ [i-+- a tanga(logar — a)].
La famille de paraboles précédemment trouvée est solution particulière (c' = o) de la première de ces équations.
119. Sur/aces de révolution, telles que le produit des rayons de courbure principaux soit dans un rapport constant avec le rayon du parallèle.
(Gaen, novembre 1887, ^' question.)
Prenons Taxe de ces surfaces pour axe des y\ on devra
avoir
pip,= A:a?;
or
dx d'où l'équation
On a encore
dy=pdx=àzk ^ ^ ,
± (7 - c') = - (arc tang/> - ^-J^) ; ViLLiÉ. — Comp, 11. 2
l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE II.
négligeant le double signe qui est sans intérêt, les valeurs de X et y peuvent s'écrire
X — c = cos'a = — T (H- cos2a),
, k I tan&:a \ k , . .
Y — c= -(a '- — r— ) = - (2a — smaa);
^ 2 \ I -h tangua/ 4 ^ ''
ce sont les équations de cycloïdes engendrées par un cercle k
de rayon - roulant sur une parallèle quelconque à l'axe
des y.
