V-idy — F dx)= du = o

on aura successivement

du „ du

dx^ ~ ^ âx dx^ dy^ ~' ày'

d'où l'équation exprimant que les courbes sont isothermes en y joignant l'équation on en tire

Ces deux dernières équations nous donnent

^dx ^d —(— F~\dx {^-F—^d dx ^J^ __ \ày àx) \dx cj/ /

OU

()F ^ ()F , -T- dy — 3~ <^

(3) rflogfx=-i6?log(i-hFî) • ''^ ^-^

exprimant que le dernier terme de cette équation est, comme les defux autres, une différentielle exacte, on aura la condition cherchée

dF âF

d dx à dy

dx i-^F^ c>7 i-h F»

OU, en développant,

2F dx^'^dj^ AjF

F» /àFY /àF\* AfF

Quand cette équation sera satisfaite, l'intégrale du second membre de l'équation (3) donnera le logarithme du facteur intégrant, ce qui permettra d'obtenir la fonction u cherchée.

122. Prouver que, pour que deux différentielles Ml rfa? -f- Ni dy, Midx-\-^% dy

admettent un facteur intégrant commun, il faut et il suffit qu'une certaine expression P rf:r -|- Q û^k soit une différentielle exacte. Trouver P e^ Q, ainsi que le facteur intégrant commun [Ji.

On a, par hypothèse,

{jtMi dx -\- fxNi dy =■- û?Fi, [xMî dx -+- fxNj dy — dF^ ; d'où dF^ ,, aFi ^, àF^ ,, àF^

et, en égalant les dérivées rectangles,

c!X * ^J^ dx ^ âx^

M^ + M ^ = fx^-4-N ^.

^ ày ^ dy ^ dx ^ dx

De ces deux équations, on tire

àji \dy dx I \dy dx J ^

<^ar ~ ^ MiNa-M^Ni ^ '

^ ^ \ày àx I \dy dx I ^ ^.

portant ces expressions dans la valeur de

on a

-1- = û? log ii. = F dx -hQdy;

donc V dx -^Qdy doit être une différentielle exacte, et le facteur intégrant cherché a pour expression