On donne V intégrale définie

' oà a, 6, a et p sont quatre constantes réelles dont les deux dernières sont positives : y peut être considéré comme une fonction de x; on demande de démontrer qu^ elle satisfait à une équation linéaire de la forme

x-j-^ -h(Aa7-+-B)-f- -h (Aia? -hBi) v = o, dx* ' dx ^ "^

où A, B, Al et Bi sont quatre constantes dont on déterminera les valeurs.

Cette équation étant obtenue, on examinera en particulier le cas où

Quelle sera alors Cintégrale générale de V équation?

(Paris, juillet i885, T' question.)

Posons, pour simplifier, V = (^ — a^ (z — è)P ; d'où y= I \e-^dz, ^= / yze^^dzy ^= / ^z^e^^dz;

il faudra vérifier l'équation

Jr \e^^x(z^'^kz-hki)dz-\- I \e^^(Bz-^Bi)dz = o

OU, en intégrant le premier terme par parties,

[e^^V(.5«-hA^-hAi)]'

-j-\y{z'^-^kz-^\{)\e^^dz^ I \e^^(Bz-hBi)dz = o\

le terme intégré étant nul, puisque Va= V^= o, il reste f |v(B5H-Bi)— ^[\(z^-^Az-hki)]le^^dz = o.

On satisfait à cette équation en posant

or -7- admet les racines a et è aux degrés a — i , ^ — i ;

posons donc

^^H- A^ + Al = {z — a) {z — b)

A = — (a -h 6), Al = a6,

il restera à vérifier l'équation

(B — 2)i5 H- Bi — A = a(5 - 6) -h ^{z — a), ce qui donne

B = 2-ha-i-p, Bi=: — (a -h 6 -ha6 -h pa).

Dans le cas particulier de l'énoncé, on trouve A = o, Aj = — I, B = 4, Bi = o;

d'où l'équation

d\r ^ ,dy dx^ dx

^T7±5 +4:,*^-^jK = o,

dont on connaît la solution particulière

— f (z — i)(z-f-i)e^^dz==j {i — z^)e^'dz.

Or la solution générale d'une équation linéaire du second ordre de la forme (n® 21 )

dont on connaît une intégrale particulière ^o est donnée par la formule

y n ri rdx -f^^dx

ro J xl

appliquant à l'équation trouvée, on a

f = Go-4- G, f^^e-f'-^=Co-^G, A

yo J ri J ^

ro " 'J rV V x^y%

Formons

yo= - / e^^xdz / z^e^^xdz

= {-e^^\ -^f~e^^] -h - / ze^^dz \x /, \x /i X J^

[gzx "1+1 2 , a /•"*"*

d'où la solution générale ^__ x(e^-he-^)-(e^—e-^) \^^^ ^ T ^' ^^

x^ i J [x{e^-he-^)—{e^—e-^)]^y

x^ dx __ I a7(c* — e-^) — (c^-4-c-*)

on a donc finalement

c^ — hC'e-^ — —