X -7-^ -^im-~- -{- xy = o

Soit, plus généralement, l'équation linéaire

(i) {a^x -h 60) ^ + <a, jr + ^j) __Z +...+ (a„a7-+- 6„)7 = o,

étudiée par Laplace {Œuvres complètes, t. VII) : proposons-nous de rechercher si l'on peut déterminer deux constantes a et p, et une fonction V de 2, telles que

soit solution particulière de l'équation proposée. On a généralement

d'où

Vz"*e^^ dz,

^diVz^)

x-j-^= I Yz^^e^^xdz = [Yzfnez^]l— I -~j 'e^^dz;

le premier terme sera nul si l'on assujettit V à s'annuler pour z =■ OL et z= ^

substituant alors dans l'équation proposée, on aura

(3) / — «0-^ --^bo\z^—...— an-^-^bny\e^''dz = o.

Pour que cette intégrale soit nulle, il suffit que la parenthèse le soit; or elle est de la forme

dN

(4) -^P(^)-hVQ(^) = o,

P et Q étant des polynômes de degré /i en z; on a donc

V P(^) V >5— ai Z—<Xn/

V = e^o^(z — ai)^i(z — aj)Aj. . . (^ — «„/».

On prendra pour a et p les racines ai et a^, par exemple, si Ai et A2 sont positifs, et alors y sera donné par l'intégrale définie

(5) y=l e^»^(^ — ai)^^{z — ai)^*...{z — an)^''e^^dz.

Si les quantités A sont toutes positives et les racines a simples, on pourra ainsi déterminer n — i solutions particulières distinctes et, par suite, abaisser l'équation au premier ordre ; l'intégration de l'ëquation proposée sera alors ramenée aux quadratures.

Appliquant ces résultats à l'équation de Bessel, on a

diWz^) ,, d\

dz dz

ou bien

et, en intégrant,

supposant m ^ i , nous prendrons pour a et ^ les racines

± i et nous aurons

y z= c j (i -I- z^)'f^-^e^^dz.

Pour ramener / à la forme ordinaire, remplaçons z par zi et c par — /, il viendra

y == I (i — z^)"*-^ e^^'^ dz ;

or

l'intégrale / (i — z- )"^~ * sin zx dz^ ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est nulle, et il reste

y= I (i — z^)^-^ cos zx dz,