Équation de Riccati

-h Xo7» -T- Xi^ -f- X, = o,

les quantités X^, Xi, X2 désignant des fonctions de x seulement.

Si l'on connaît une fonction j^q qui vérifie cette équation, on pourra effectuer l'intégration; il suffira de poser

d'où

^ -+- (Xi -+- 270X0)^ -h Xo>5* = o ;

c'est un cas particulier de l'équation de BernouUi.

On peut considérer l'équation de Riccati comme se rattachant aux équations linéaires du second ordre. Posons

en effet j^ z= -, u ex. v étant deux fonctions de ^; il vient

du dç

v-^ M -7 — h Xo z*' -f- Xi MP -h Xj i'' = o.

Prenons comme seconde relation entre u et ^^

il restera

du ^ ^

dv ^ , Y

or la première donne

__ ^ du Xj dx'

portant dans la seconde, il viendra

d^u , du ^

P et Q étant des fonctions connues de x. Nous arrivons ainsi à une équation linéaire du second ordre : soit

U = CiUi-T- C^Ui

la solution générale 5 nous avons

U ^ U ^ CiUi-^C^Ut

y = — = — A2 — , = — Aj ; •

i' u Cl u\ -+- C2 u^

Il n'entre dans cette expression que la constante arbi-

cati est de la forme

traire c = — ? et l'intégrale générale de l'équation de Ric-

a -hcp

les lettres a, 6, a et j3 désignant des fonctions de x. On sait donc de quelle manière figure la constante arbitraire dans l'intégrale générale de l'équation de Riccati. On peut tirer du résultat précédent cette conséquence , que le rapport anharmonique de quatre solutions quelconques est constant.

Prenons le type suivant, que l'on sait intégrer.

posant j^ = x'^z^ il vient

dz ,

d'où

dz , ,

=— - =x^-^dXj

c—-bz^ '

équation dans laquelle les variables sont séparées ; on a finalement

e ' -G 126. Equation de Jacobi

{ax -f- by -\- c)dy -\- {a' x -+- t'y -+- c') dx

-\-{a''x -{- y y -V- d'){xdy — y dx) = o.

Posons

il viendra

(au -h 6p -+- cw) {wdç — ç dw) -h (a' m -h b'v -H c w) (wdu — u dw)

+ (a"M-i- 6"p-H c" w){u dv — V du) — o.

On satisfera à cette équation en posant

— du dv dw

au-h ôv -^ cw a' u-\- b'v -h c'w a'^u-i- b" ph- c" w

= dt\

d'où les équations différentielles linéaires, à coefficients constants,

-r = — («M -h Oi' -H cw ),

-— =a u-^b V -hc Wj at

—7- = a M -H 6V -h c w ; ^ at

en les traitant par la méthode de d'Alembert, on les ra-

mène à la forme canonique

d^ ^ dy\ d^ y

5|, ^2 et 53 étant les racines de l'équation caractéristique du groupe précédent.

On en déduit

ç = cie*i^, 7) = C2eV, Ç = Cje^s', d'où

5 = (au -h ^v-\-fw) = («37-1- Pj^H-'Y)«',

par suite

Eliminant w', on a l'intégrale cherchée

(a' a? -+- p'^ -f- y')*'^**~*'^ (aa? 4- ^^ -h y)*»^*»~*»^ "" k'^*-^» ~" ou

(aa7-H-pj^H-Y)*a~"*»(a'a7H-pyH-Y')*»~*«(«''^-^P'y-^Y'')**~*»= const.

127. On sait que la recherche d^une courbe gauche pour laquelle le rayon de courbure R et le rayon de torsion T sont donnés en fonction de Varc s revient à l'intégration du système

dd ol'

rfa'

OL ol'

di!' a'

ds r'

ds ~~

ds " T'

oii a, a' et a" désignent les cosinus des angles que font açec une droite fixe la tangente, la normale principale

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3l

et la binormale. Effectuer V intégration de ce système

quand

lis i i . s

a et b étant des constantes, avec les conditions initiales suivantes :

a = i, a'=o, a"=o pour 5 = 0.

(Paris, juillet 1887, i"* question.)

Le problème consiste à intégrer le système (Inéquations linéaires simultanées du premier ordre

^ doL , s , M s . . *