Trouver les surfaces telles que, en chaque

OT point M, on ait -^rz^ = const. = A", ï étant la trace du

plan tangent sur Vaxe Oz, Déterminer la surface, dans le cas de A" = — i , par la condition qu^elle contienne le cercle

(Conférence de la Sorbonne, 1884.) On a

OT = z—px — qyy OM = p = /a?^ 4- ^2 ^ ^2^

d'où l'équation linéaire aux dérivées partielles

px ■+■ qy = z — k ^x^-+-y^-h z^f

que l'on intègre en posant

dz

dx dy

X dx -\- y dy -^ z dz

^-\-y^-{-z^— kz ^x^-hy^-\-z^

ou

dx ^ dj dz dp dp — dz

X '^ y z — kp p — kz (i-+-A:)(p — zY

on en tire

^ = CiiF, p — Z-=C^X^^^,

L'équation générale des surfaces cherchées est donc Faisant A" = — i , on a

ces surfaces sont engendrées par une parabole d'axe O^, située dans un plan azimutal et dont le sommet se déplace avec le plan, tandis que le paramètre varie. Si l'on assujettit la surface à contenir le cercle donné, on obtient le paraboloïde de révolution

x2^y2— a(a-\- iz).