L'ensemble des droites de ^espace
(i) X = az-\-pj y = bz-{- q^
pour lesquelles les coefficients a, 6,/?, q vérifient la relation
(2) aq — bq =^ k (constante donnée),
forment, suivant la locution admise, un complexe linéaire; on dit, par suite, qu^une droite appartient au complexe quand, les équations de cette droite étant mises sous la forme (i), les coefficients vérifient la relation ( 2 ). Ces définitions étant rappelées, et en supposant, de plus, les coordonnées rectangulaires, on formera V équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les surfaces dont les normales appartiennent au complexe linéaire qui précède, et V on inté gréera cette équation. On déterminera ensuite la fonction arbitraire qui figure dans V intégrale générale, de telle sorte que la surface passe par Vaxe de cordonnées Oy,
(Paris, juillet 1888, 1" question.)
Les équations de la normale à une surface, en coordonnées rectangulaires, étant
pour que cette droite fasse partie du complexe (i), il faut
que
/ dz\ àz I àz\ ,
àz àx
l'équation aux dérivées partielles des surfaces cherchées est donc
dont l'intégrale générale s'obtient en posant
dx dy dz X dy — y dx xdx -^y dy y x ~~ k ~~ x^-^-y^ ~~ o '
d'où
x^-^y^=(Xy T = arc tang— -j- p.
L'équation de la famille de surfaces est
z = k arc tang — '+-f(x^ -^y^)
OU, en coordonnées semi-polaires,
les sections azimutales s'obtiennent par le déplacement, parallèlement à O^ et proportionnellement à 0, d'une courbe z = ^{r)] la surface est un hélicoïde général. Pour que la surface contienne l'axe des y^ il faut que
cp(r)=-A:^, et l'on a l'équation
qui représente un hélicoïde gauche ayant O^ comme directrice recliligne et xOy pour plan directeur.
130.. Équation aux dérivées partielles des surfaces, telles que chaque plan tangent forme , avec les plans coordonnés rectangulaires , un tétraèdre de volume constant.
Trouver une intégrale complète et la solution singulière.
En supposant le plan des xy hoi^izontal, trouver les ombilics et les lignes de plus grande pente de la surface représentée par la solution singulière.
(Poitiers, juillet i885.)
Soient X, Y et Z les coordonnées des points de rencontre du plan tangent
avec les axes coordonnés \ on a
V ^y — ^ V px — z „
X = ic-t--i^^^ > X—y-^i- , Z = z—px — qy\
d'où Téquation aux dérivées partielles
(i) z=ipx-^qy-^aYpq^
en supposant à a le double signe. On obtient une intégrale complète de cette équation de la forme classique
z=zpx-^qy-^^(j),q\
en posant/? = a, gr = p, a et p étant des constantes quelconques. L'intégrale complète est donc
(2) ^ = aa? -f- p^-h a/ôp.
Pour avoir l'intégrale générale, on posera arbitraire-
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Sg
ment p =y(a), et Ton prendra l'enveloppe de la famille de plans
(3) z = aa:-+-7/(a)H-av/a/(a);
rintégrale générale représente donc une infinité de surfaces développables.
Enfin la solution singulière enveloppe des plans (2) est fournie par l'élimination de a et P entre les équations
3/-r ôF d¥
ce qui donne l'équation
(4) xyz = — =b^.
Les trajectoires orthogonales des lignes de niveau
de cette surface, \ étant un paramètre variable, sont les lignes de plus grande pente; or l'équation différentielle de ces lignes de niveau est
dv
celle des lignes de plus grande pente, dont les projections sur un plan horizontal coupent orthogonalement celles des lignes de niveau, est donc
y — a7-7-=o ou x^ — y2=c;
ce sont, en projection, des hyperboles équilatères comme les lignes de niveau.
Les équations des ombilics
i-f- p^ i-\-q^ __ pq r ~ t ~ s
donnent, pour la surface (4),
x'^y^ -f- b^ x^y^ -\- b^ b^ ixy ~ ^xy "" xy'
d'où la solution x'^=y^= b'^ ] on obtient ainsi huit ombilics situés sur la sphère de rayon b^, à laquelle la surface est tangente en ces points.
p -\- q^xz = o.
On aies dérivées partielles du premier membre
P = I, (1 = iqxZ) X = q^Zj Y = o, Z=q^Xy en sorte que les équations simultanées
dx P
dr Q ~
dz
dp
dq
^-i-qq
-h Zp
-^Zq
deviennent
dx —
dy iqxz
dz q^xz
dp
dq .
z -hpx)
d'où
dx —
dz xz
= Gv/a?2-
j dz f— izdz z^ ,
dy — 1 — = 2dz yx^ — a = — 7^ — , v = —■ + 6.
Eliminant C entre les équations qui donnent z et y, on a rintégrale complète
qui fournit l'intégrale générale, en posant arbitrairement b =f(^a) et éliminant a entre l'équation précédente et sa dérivée par rapport à a.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. ^l
132. Trouver ^équation des sur/aces telles que le plan tangent en un point quelconque x^ y^ z découpe sur les trois axes coordonnés des longueurs OA, OB, OC, satisfaisant à la relation
X X OA -\-y X OB -\- z X OC = const. = K.
(Lille, juillet 1889.)
L'équation aux dérivées partielles de ces surfaces est (ii« 130)
p q px-\-qy — z
posant
u = px -H qy — z,
on a, pour les dérivées partielles du premier membre de cette équation,
^ X Kx ^ y Ky
pi u^ ^ qi u'-
et, par suite,
