X-\-Zp=--p, Y-hZq = -—q

d'où le groupe d'équations simultanées

dx dy dz

dp

dq

On en déduit

dx dz dy dz

dp

dq

d'où les deux intégrales

^ aZ.

éliminant p et q entre ces équations et celle de la surface , on obtient une intégrale complète

qui représente une famille de surfaces du second degré , à centre, rapportées à trois diamètres conjugués, et notamment, si les axes sont rectangulaires, la sphère

elle ne peut donner d'ellipsoïdes réels que si R > o.

On aura la solution singulière, en éliminant les deux paramètres arbitraires a el b entre l'équation précédente

F = o et ses deux dérivées partielles — = o, -r^ = o ; or

une combinaison simple de ces deux dernières donne immédiatement

a^cc^ = b^y^y ax = ± by = X ;

remplaçant, dans F = o et -p ^ o, a et 6 par - et zt - > puis éliminant X, on a finalement les huit plans

réels ou imaginaires suivant que K^o. Ils forment un octaèdre régulier si les axes sont rectangulaires.

133. Déterminer la fonction f{z) = X + lY, dont la partie réelle est

2 smix

e^y -h e-^y — 2 cos 2 x

(Grenoble, novembre 1884.)

On a

dx ^ dy ~~ (e^y-h e-^y — 2 cosaa?)* d'où

Y = h cp(k);

e^y-he-^y— acosaa? tv-^ /j

or l'équation — = — exige <p(j^) = const. Laissant de côté cette constante, on a

-, ^ 2s'inix — i(e^y — e-^y)

•^ ^ ^ e^y-\-e-^y—icosix

sin2:r — sinaiV , .

= : :£ = C0t(a7 -+- iv) '.

cos2iy — cosaa?

c'est la fonction cherchée à une constante près.