CHAPITRE IV
134. Trouver les courbes qui coupent à angle droit toutes les coniques du faisceau
\ étant un paramètre variable.
Dans quel cas trouvera-t-on des coniques ?
Éliminant A entre l'équation proposée et sa dérivée
ab dy ^
if? — a ax
on a l'équation différentielle de la famille de coniques
ab ^ ^ lab dy
—i y^ -hi — ax^ = • xy ^ = o ;
nb — a^ ib — a "^ dx
celle de leurs trajectoires orthogonales est donc
7,ab xdx x^ I ab
aô — aydy y^ y^ ib — a
Posant —7 = A", ^^ — . ^ y2 = ç; elle devient
iakv -= au-\- \ -\- akv = o :
dv
cette équation linéaire étant intégrée donne
ou
x^ = cv^H -r^ — :
•^ a ik — I
c'est l'équation cherchée. Elle ne représente des coniques que pour A* = i, a = 6; elle donne alors la famille de cercles
les coniques données sont également des cercles (n° 41). Pour /: = - ou a = o, on a ]a famille de droites jK= const., trajectoires orthogonales des droites aX^-f- i = o.
135. Trajectoires orthogonales ou obliques de quelques courbes planes,
(Conférences de la Sorbonne.)
Soit F (^) une fonction de la variable complexe i;=:r -h i/; si nous formons F(<s) = X-h «Y, la famille de courbes X = c admettra pour trajectoires obliques sous l'angle a la seconde famille X — Y tanga = c'.
En effet, la condition pour que deux courbes
f{x,y) = c, o{x,y)==c' se coupent sous l'angle a est, en posant tanga = /:,
dx ày ày dx \ àx àx dy dj) '
l'équation à vérifier est donc
dX /dX j dY
l^ -. h ~\ — — (— — k ~\ \dx dx J dx\ dy dy )
\^dx\dx àx / ' dy\dy ày ) y
or le premier membre se réduit à
/dXdY dXdY\
ou a
\dx dy dy àx)^
en vertu des identités
ày'~ àx^ àx ^ à y
et il en est évidemment de même du second.
Si l'on fait A* = oc, on en conclut que les deux familles de courbes X = c, Y = c' se coupent orthogonalement.
Appliquons à quelques exemples :
, ^ I I cosô .sin6
z r(cos6 -H ïsinO) r r
on a les familles
COS0 cos6 sinô ,
= c . 1 tanff a = c ;
la première comprend tous les cercles tangents au point O
à l'axe OjKî et la deuxième, — = c'cosa = c^ , les
mêmes cercles ayant tourné de l'angle a.
d'où les deux familles d'hyperboles équilatères x^ — y^ = c, x^ — y^ — ikxy =- c' ,
I cosae — gsin^^e ^
la première famille
