a? -h «y ) = re'^ + r-* e
et
= ( r H — j cos , iy = Ir j sin 6 .
Les courbes X = c ou r = const. s'obtiennent en éliminant
ce sont des ellipses dont les foyers sont les points fixes ^ = dzi. Leurs trajectoires orthogonales, 9 = const., s'obtiennent en éliminant r, et sont les hyperboles
cos^O sin^ô homofocales aux ellipses.
136. Trouver les trajectoires orthogonales des génératrices d^un hélicoïde réglé et celles des hélices que décrivent les divers points d^une génératrice.
(Conférences de la Sorbonne.)
On appelle hélicoide la surface lieu des hélices qui ont un axe commun et le même pas, et qui passent par les divers points d'une directrice. Lorsque la directrice est rectiligne, comme dans le cas qui nous occupe, l'hélicoïde est réglé ; cette surface peut être regardée comme engendrée par une droite qui tourne autour de l'axe, en même temps que le pied de sa distance à l'axe décrit Thélice de gorge.
Les variables indépendantes étant u et 8, les équations de la surface sont, en coordonnées individuelles :
^ = acos6 — asinO; j^ = asinô -t- wcosO, ^ = /0-h6w;
6 == const. donne les génératrices rectilîgnes et u = const. les hélices.
La relation de perpendicularité entre deux familles de courbes dx^ dy^ dz ; Sx, Zy et 8^ est
dx hx -\- dyhy -^ dzZz =^ o]
or, pour les génératrices,
Zx = — SusinO, 8^ = 8mcosô, 8-s = fcSa;
d'ailleurs, on a généralement
dx = — a sin 6 d^ . — u cos rfô — sin 6 du , dy =^ acosôû?0 — Msinô rfO -hcosôrfw, dz= Id^ -\-bdu\
d'où, pour Téquation cherchée,
(a-+- /6)rfô-H(i -^b^)du =
ou
(i -h b^)u-\-(a-t- lb)% = const.
Si Ton fait /=o dans les équations de la surface^ celle-ci devient l'hyperboloïde de révolution , et nous retombons sur le résultat directement obtenu au n° 46.
Les trajectoires orthogonales des hélices u = const. s'obtiennent en prenant
Sa? = — (asinô -+- acosô)§6, ^y = (a cos 6 — a sin 6) 86,
d'où
(«2 4- /*-+-M«)c?Ô-t-(a4- lb)du=zo
et, en intégrant,
A A a-hlb u
6 — 8o = 7= arc lang
Dans le cas de l'hyperboloïde, cette équation devient
u = — atang(0 — Oq), ViLLiÉ. — Comp, II. 4
5o PREUIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.
d'où la relation entre :r et^
qui représente les plans méridiens de la surface; c'est qu'en effet les hélices deviennent les parallèles, et leurs trajectoires orthogonales les méridiens de la surface.
