On donne, en coordonnées semi-polaires, la surface

et Von propose de trouver : •

I** La projection sur le plan des xy des courbes coupant orthogonalement, sur la surface, les sections azimutales;

2" Le volume compris entre les plans coordonnés et la portion de surface comprise dans le trièdre positif, en supposant f {^) = — cos^ô.

(Toulouse, novembre î884.) I** On a, pour les sections azimutales 9 = const.,

d'ailleurs, pour une courbe quelconque de la surface,

dx = dr cos 6 — r sin 6 rfô,

dy = û?r sinô -\- r cosô <iô,

dz = t/r/(e) -t-(r — a)/(0)rfÔ;

d'où l'équation diff^érentielle des trajecloires orthogonales

dont l'intégrale est

2° La surface dont il s'agit est une surface réglée dont toutes les génératrices rencontrent l'axe des z ; elle coupe

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES. 5l

d'ailleurs le plan des xy suivant le cercle r = a ; avec y*(0)= — cos^ô, les génératrices rencontrent toutes la partie positive de Taxe des ^, et l'on a

dWz=zrdrd^ = r(a — r) cos2 rfrû?6,

f cos20â?e/ {<x — r)rdr =

PREUIÈRE PARTIE.