On considère la chaînette représentée par V équation

soit D la développante de cette courbe passant par le sommet A. En faisant tourner D autour de Ox, on obtient une surface de révolution; démontrer que le produit des rayons de courbure principaux en un point quelconque de cette surface est constant. Quelle est la valeur de cette constante?

(Ecole Normale, i886, première question.)

La chaînette jouit de cette propriété que la distance du

Fig. 2.

pied {fig* a) P de l'ordonnée à la tangente à la courbe

RAYONS DE COURBCJRE ET LIGNES DE COURBURE. 53

est constante et égale à a ; on a en effet

PK =y cosa

or

d'où

dx 2

et, par suite, PK = a.

D'ailleurs, le point K décrit la développante de la chaînette, issue de A; en effet, on a

ds=dx\J i-\-{^'j^=^-^dx\e''-\-e ^ J,

et I a a

MK=v6^i^:r^=-4/ e"+6 " 4 = f^{e«e " ) = s.

Les deux rayons de courbure principaux de la surface de révolution engendrée par la courbe lieu des points K

sont KM et Kl, et Ton a bien KM x Kl = KP"" = a^.