Déterminer la fonction f de telle sorte que le

conoide z^=f{^\ soit coupé par le plan x = i suivant

une ligne de courbure,

(Conférences de la Sorbonne.)

L'équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan des xy

dx -\-p dz __ dy -\- q dz r dx -{- s dy ~~ s dx -h t dy

doit être vérifiée par la ligne a: = i , dx = o, ce qui donne l'équation

ou (n« 66)

et, en posant /'(j^) = m,

du , . dy u^

y-, — hw(n-a2) = o, 2-^ = ,

'^ dy y I

d'où

JK'

La surface cherchée a donc pour équation

Z — Zé % — z

y= —[e "" -he

La ligne de courbure déterminée par le plan x = i est une chaînette.

140. Déterminer , en coordonnées curvilignes , le rayon de courbure d'une section normale quelconque à la surface

Montrer qu'il y a un rayon de courbure maximum

ou minimum quand on fait varier le rapport -r- •

Equation admettant pour racines ces valeurs du rayon.

(Lyon, juillet i88o.)

RAYONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE

Cherchons d'abord réquation du plan tangent à la surface F(xyyy z)=: o ainsi déterminée.

L'équation de ce plan est

.dF .^ .()F ,„ .ÔF

or on a

dF dx dx du

dy du

dz du

dF dx

dx dv

dF dz dz dv

éliminant les dérivées de F entre ces trois équations, on a l'équation du plan tangent

dx dy dz

du du du = 0.

dx dy dz

dv dv dv

Le rayon de courbure p d'une section normale est donné par la formule

ds^ \/ 1 -^ p^ -\- g^ les coefficients directeurs de la normale sont

d'ailleurs

du dv

df^ df, dv du '

du dv

àfz df, dv du '

. àf, df, , du dv

dv du'

d'où

L2-4 M2+N2Srfa:î

s/i^^^^^-^^^^(^idu^%d.)

<5?2^ rf^j, û?2^

dw du du

àfx df, df, di^ dp dif

Or, puisqu'il s'agit d'une courbe, u et ç' ne sont plus variables indépendantes, et l'on a

d^x=:^du^ du^

dudv

}- du dv

àA

dv^ du dv

posant donc, pour abréger,

àVi à^A à^A

du^ du^ du^

du dv

di?

dudi^

àA

du dç

àjA dv^

àA du

àA

il viendra, en remarquant que les coefficients de d^u et d^i^ sont nuls.

/L2-hM2-+-N2

G rfw»-4- iUdudi^-hK dv^

G' du^-h iW du dç -h K' dv^ Gdu^-^ 2Ududv-hK dv^

A toute valeur réelle de --r- répond une valeur réelle pour r, et réciproquement les seules valeurs admissibles pour r sont celles qui répondent aux racines réelles de -j-, donc les valeurs limites de r sont données par l'équation

9(r) = (rU - H')2- (rG — G') (rK - K') = o,

RAYONS DE COURBURE ET LIGNES DE COURBURE. 67

qui donne, en un point arbitrairement choisi, les valeurs maxima et minima de r et, par suite, de p.

Il est aisé de reconnaître que les racines de cette équation sont réelles; en effet, pour r = o, on a

,<o,=„..-c.K.=(2ïf)'-2(g)'2(i;

ou, en vertu de Tidentité de Lagrange,

?co) 2^\^^^ ^^ ^^ -^j <o,

tandis que <f(-77 ) ^^'fi^FJ sont évidemment positifs.

Aux ombilics, p et, par suite, r sont des quantités constantes, c'est-à-dire indépendantes de -i- ; les équations des ombilics sont donc

141. Rechercher V équation différentielle des lignes de courbure d^une surface en coordonnées curvilignes.

Les équations des plans normaux aux lignes de la surface (; = ç?oi u = Uq sont respectivement

dx dy dz

ce sont donc celles de la normale à la surface. Posant

x^-^y^-h z^ = aU, elles deviennent

X— -hY^-+-Z— — — =0 du du du du '

X^-4-Y^-hZ— — — =0.

di^ dv dv dv