CHAPITRE VI
142. Prouver que les lignes asympto tiques des surfaces réglées à plan directeur,
s^ obtiennent par une quadrature. Appliquer aux conoides et spécialement à l^ hélicoide à plan directeur.
(Conférences de la Sorbonne, 1887.) On a
dp = (^cp'+ Y) dx -+- ^' dy^ dq = çp'c?^?;
d'où l'équation différentielle des lignes asympto tiques
{y cp'-t- Y) dx^ -\- 1^' dx dy = o.
La solution dx r= o, ^ = const. donne les génératrices rectilignes de la surface ; en la supprimant, il reste l'équation linéaire
dont l'intégrale est
^Ji{x) L J 2v/<p'(^) J
L'équation générale des conoïdes, ayant le plan des yz
6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VI.
pour plan directeur et la droite
z = mx^ y = nx
comme directrice rectiligne, est
les projections des lignes asymptotiques de cette surface sur le plan des xy ont pour équation
/cp'(^)L y 2v/?'(^) J
dans laquelle m ne figure pas.
Appliquant à l'hélicoïde ^ == A: arc tang - > n = o, on trouve
y = a cos -T •
Ces courbes, projetées sur le plan des yz^ ont pour équation
ce sont les hélices de la surface.
143. Trouver les lignes asymptotiques de la surface engendrée par une droite qui fait, avec Vaxe des z, un angle constant y, et qui rencontre cet axe, ainsi que la droite x=^ a^ située dans le plan des xy,
(Conférences de la Sorbonne.)
L'équation de la surface est, en coordonnées cylindriques,
(i) ^ = cotYl -^ — r).
' \cos8 /
Proposons-nous de rechercher, plus généralement, l'équation des lignes asymptotiques avec ce système de coordon-
LIGNES ÀSYIKIPTOTIQUES ET LIGNES GÉODÉSIQUES. 6l
nées. On a
dz \ dz . ^
p = ^- coso — sino,
* or r ob
, /d^z ft j dz . ^ d^z sin6\ ,
'^Z' = (^ cose + - ^ s.ne ^^ — j rfr
/ d^z - àz . . 1 d^z . ^ 1 dz a\ jù.
dx = cosôûfr — rsinO ûf6,
ce qui permet de former dp dx. Le terme dq dy se tire du précédent par le changement de 9 en 9 et, par suite,
de ^ en — -r^j ce qui fait disparaître dans l'addition les termes en sin9 cos9, et il vient
dpdx+dqdy = tldr^^i(^^^-\^-^dr<m
l dz diz\,..
Appliquant à la surface proposée, on a
dz d^z dz sinG
— = — coty, ;r-- = o, 35- = '»cotY — r^î
dr ' dr^ db ' cos'ô
d^z n-sin«e d'^z
d'où l'équation
2 sin6 / i-hsinîe
a -TT ar aO 4-
r cos*9
( a ^^ r Wzô* = o.
\ cos3 6 /
Laissant de côté la solution rf9 = o, qui donne les génératrices rectilignes de la surface, on a
dr (3) aasinô cosO-^^ + r[r cos^O — a(i-H sin'ô)] = o,
équation de Jacques BernouUi, qui se ramène à la forme
linéaire en posant u = r~^ ; d'où
sin26-=r -h (n- sin26)u cos^ô = o,
dont l'intégrale est
M = - = ces 6, .
144-. On donne les coordonnées d^un point quelconque d^une surface exprimées en fonction de deux paramètres u et v,
former Inéquation difjférentielle entre u et v donnant les lignes asymptotiques de cette surface.
Comme application, on recherchera les lignes asymptotiques de la surface définie par les équations
x = vcosu — sinM, y = v s'mu-h- cosu, z = u.
(Paris, juillet i886, i"^* question.)
Exprimant que la nornqiale à la surface est perpendiculaire au plan osculateur de la courbe, on a l'équation
cherchée
ou
dx ôy âz
du du du = o.
dx ày dz
dv dv dv
La surface proposée est un hélicoïde réglé à génératrices parallèles au plan des xy, dans laquelle le pas des hélices est 211, l'hélice de gorge étant sur un cylindre dera}'on égal
à l'unité. On a, pour celte surface,
d^x=i (sinM — pcosM)ûfM2 — 2sin u du dçj d^y = — (cos u-h P sin u) du^ ■+■ 2C0s udu dv,
d^z = o, L= — sin M, M=cosu;
d'où l'équation diflFérentielle des lignes asymptotique s
du{jidv — du) = o.
La solution du = o, w = ^ == c donne les génératrices rectilignesdelasurface;la'seconde solution estw = 2Ç'+C|. Or, si l'on tient compte de la relation a;2 + j^2= i^^H- i fournie par les équations de la surface, la relation précédente peut s'écrire
cette équation représente une famille d'hyperboloïdes de révolution à une nappe qui sont superpo sables et dont les centres sont sur l'axe des z^ le rayon du cercle de gorge de ces hyperboloïdes étant égal à l'unité .
Les intersections de ces hyperboloïdes avec l'hélicoïde fournissent la seconde série de lignes asymptotiques.
L'équation différentielle des lignes asymptotiques en coordonnées curvilignes permet d'obtenir très rapidement
ces lignes pour le conoïde z =/(—]; posant x=zu,
idudç f\v)d\^^
Développant ce déterminant et supprimant le facteur ds? qui correspond aux génératrices du conoïde, il reste
— iduf{v)^uf\v)dv = o,
d'où
