Soit considérée la sur/ace représentée par Inéquation

/( — ) et F(z) représentant respectivement deux fonctions quelconques de — et de z. On demande de former V équation différentielle des lignes asympto tiques de cette surface en prenant comme variables z et ^ que

Ou

Von désignera par u. On vérifiera que, dans cette équation différentielle entre z et u, les variables sont séparées.

Comme application, trouver les lignes asympto tiques

de la surface

(Paris, novembre 1887, i"* question.) Les équations de la surface étant mises sous la forme

fW'

y= ux,

z = Zy

on a

dz

d'où, pour l'équation différentielle des lignes asymptotiques,

àx dy du du

OU encore

d'^x idudx

d^x ud^x -h idudx ¥£ F(/- uf)

=fd^x -t- 2/' du dx.

Or on a

fY' dz — Yf du dx — j^ ,

/F'rfz'-F/'rf«» ^f(frdz-¥fda) ,

ce qui réduit l'équation précédemment trouvée à

fY" dz^ - ¥f du^ = o, y/Ç dz = ± i/^ du,

dans laquelle les variables u et z sont séparées. Pour la

r surface xe''=: e^, cette équation devient

dz = dz du, z — c = ± — ,

qui représente deux familles de paraboloïdes hyperboliques symétriques par rapport au plan des xz,