Lignes géodésiques (T un cône quelconque

Le sommet étant pris pour origine, l'équation de ce cône

est de la forme z-=^xo( — \'i d'où

les équations différentielles des lignes géodésiques sont

donc

.dx jdy jdx Y .dv

ds ds jdz as X as

d'où

, ^ , dx ^dr ,dz

Or, de l'identité

ViLLiÉ. — Comp, H. 5

on déduit, en tenant compte de l'équation (2), ,V1 dx , dx dy dz

et, en intégrant,

OU

(3) p2 = 52-+-2C5-Hc'.

La transformée de la ligne géodésique dans le développement satisfait aussi à l'équation (3), qui représente toutes les droites du plan.

Pour obtenir la ligne géodésique elle-même, il convient d'employer les coordonnées sphériques.

L'équation (3) donne

5= — C±/c2 — c'-f-p2 = — C±/p2— p2, ds = ±. ^ ^ ' ;

d'ailleurs, l'équation du cône pouvant s'écrire

on a, pour un élément d'arc quelconque tracé sur la surface, l'expression

ds'^ = dp^ -h p2(c?ô2 -f- sin2erf^2) = dp^ + p2[i + sin^ 6/2(0 )]<ie2 ; d'où, en égalant les deux expressions de ds^

p2[i-hsin2e/2(6)] ^62= ç^c?p2,

PS 9o

^ev/n-sm2e/2(Ô) = —^^£L=z=dRrccos^;

l'équation cherchée est donc

(4) arccos£^ = c 4- /^é/ô/i 4- sm2 6/'2(ô).