Lignes géodésiques en coordonnées curvilignes

(Cours de la Sorbonne, 1887.)

La longueur s de l'arc de courbe tracée sur une surface entre deux points donnés répondant aux valeurs {uqVq) , {u\ V\) des coordonnées est donnée par la formule

Mo *^«0

f c?m/E-H2Fp'h-Gp'2= / \(u,ç,v')du,

Wo ^Uo

dv If* • ■

en posant -7- = v] écrivant que s est minimum ou que

ùs = o, on a l'équation cherchée

dv du\âv')~'^'

Il est intéressant d'étudier le cas où les lignes de la surface u = const. et ç' = const. sont orthogonales ; on a alors

„ V^ dx àx

et l'équation précédente devient

dv dv d Gp'

2 y/E -+- G t>'2 rfw/E + Gt^'î

Cherchons alors la condition pour que les lignes v = const. ou ^' = o représentent des lignes géodésiques ; il faut évi-

demment que Ton ait -r- = o, c'est-à-dire que E soit fonction de u seulement; dans ce cas on pourra poser

dui = ^E(u)du, et ds^ pourra s'écrire

ds^ = du\ -^ G^{uu v) dv^ ,

Quand ds"^ a cette forme, il est aisé de trouver la condition pour que les lignes M = consl. soient aussi des lignes géodésiques : le coefficient G< doit être alors simplement fonction de r, et, en posant

dçi = v/Gi(p)(ip,

on obtiendrait, pour l'expression de ds^^

ds^' = du\ -h dv\ ,

qui exprime évidemment que la surface donnée est applicable sur un plan.

Reprenons l'élément d'arc sous la forme

ds^ = E(u)du'--{-G(Uyi^)dv^

et c onsidérons sur la surface deux lignes fixes M = a, M = p; une ligne géodésique quelconque (^ = c les coupe orthogonalement aux points A et B et, pour tout point de l'arc

AB, on a

ds^ = E(u)du^;

donc la longueur de l'arc AB,

= r i/E{u)du,

est indépendante de c, c'est-à-dire de la ligne géodésique considérée.

Ce théorème peut être présenté sous une autre forme. Soit une ligne quelconque G tracée sur une surface : menons à chacun de ses points la ligne géodésique qui la coupe orthogonalement ; nous prendrons comme lignes ç z=z const. ces lignes géodésiques et pour lignes u = const. leurs trajectoires orthogonales, parmi lesquelles se trouve la courbe G ; on voit, en appliquant le théorème précédent, que si, à partir de chaque point de la courbe G, on

porte sur la ligne géodésique normale une longueur constante, le lieu des extrémités sera aussi une trajectoire orthogonale de ces lignes géodésiques. Ce théorème peut être considéré comme la généralisation de la propriété fondamentale des courbes parallèles dans un plan.

En particulier, imaginons que Ton ait porté sur chacune des lignes géodésiques qui passent par un point de la surface, et à partir de ce point, une longueur constante, le lieu de l'extrémité sera une ligne orthogonale à chaque ligne géodésique; on reconnaît la généralisation de la propriété de la circonférence dans un plan.