MN
fdxy ^\/'-^{di)
' \dy) /dyy
\dx)
d'où l'équation différentielle du lieu
Si les points N et G sont du même côté de M, y et -j^ seront de même signe, et k devra être positif^ il sera négatif si le point M est entre G et N.
Posant-^ =^P'i l'équation précédente s'écrit
dx
ky-£-—p{i-hp^) = o,
dont l'intégrale est d'où
dx = dyy c^y * — i=y * \c* — y^J dy.
Le second membre est une différentielle binôme que l'on
pourra intégrer quand = sera entier et en-
k core quand 1 — sera entier; donc, en résumé, pour
que l'expression soit intégrable, il suffira que k soit un nombre entier positif ou négatif.
i^ k = 1. — On a
dx- ^-^ /- r.
c'est l'équation différentielle d'une cycloïde rapportée à son axe et à la tangente au sommet.
2® A" = I . — La différentielle à intégrer est
\l o^ — y^ dx = ^ dy ;
d'où
a; = -a\os(^^^ \J y^ "" 7 "^ /«^^^
c'est l'équation de la tractoire ou développante de la chaînette, appelée aussi courbe à tangente constante (nO 138).
3^ k^ — 2. — On obtient la parabole semi-cubique
149. On considère dans un plan toutes les courbes qui passent par un point fixe O, et qui sont telles que le rayon vecteur OM dhin quelconque de leurs points
fait avec la tangente en M un angle Y =z —, s désignant
l'arc OM et a une constante donnée.
Exprimer tang V en fonction de OM et déduire de là toutes les courbes proposées,
(École Normale, i888, a® question.)
On a, en coordonnées polaires,
cos V = -=-^ dr = ds cos — ds a
et, en intégrant,
r =^ a sin — = a sin V, a
sans addition de constante, puisque r tX. s s'annulent simultanément. On en déduit
tang V = ± >
et, comme tangV= "^~> ^^ ^i P^^* ^^ comparaison de ces deux valeurs, Téquation différentielle des courbes cherchées
d'où
r = acos(0 — a);
c'est une famille de cercles de diamètre a passant à l'origine O.
159. Étant donné un système d^axes rectangulaires Ox et Oy^ on demande de trouver une courbe tangente à V origine à Vaxe Ojc, et pour laquelle en chaque point M le rayon de courbure p soit lié à Varc OM ^ 5,
par la relation — = »Ç, cl étant une constante donnée.
On exprimera x et y en fonction de Varc .ç, et Von cherchera si la courbe a des branches infinies,
(Éeole Normale, i885, i" question.)
De réquatîon p =: -j- = — on tire
, s ds s^ aa=— —j a=aoH r;
or olq = o, puisque a = o pour 5 = 0; on a donc
dx = ds cosa = ds cos
dy = ds sina = ds sin
et, en posant 5 = uay/^.,
f cosw*o?a, y-=^a\Ji I sin u^ du.
*yO
On obtient ainsi deux transcendantes irréductibles, mais on peut néanmoins construire la courbe. Étudions d'abord la branche donnée par les valeurs positives de 5 ou de a 5 si Ton construit les courbes Y = cosa^ et Y = sinw^, on reconnaît aisément :
i^ Que les valeurs de x eiy sont toutes positives^
2** Que X est maximum pour u = i/ 2 kiz -\ — et minimum pour u =^ i/ {1 k -\- i)tz -\ — ;
