CHAPITRE Vil
3** Que y est maximum pour u = y/(2/r + i)tc et minimum pour u = sjikTz^
4° Que les valeurs maxima vont en décroissant, et les valeurs minima en croissant quand u augmente.
Si l'on remarque enfin que, pour u = cOj on a les intégrales de Fresnel
fsi
sin u^ du
cos u^ du =
on trouve, en tenant compte des valeurs négatives de m, que la courbe se compose de deux branches symétriques relativement à l'origine et tournant chacune autour d'un
Fig. 3.
point asymptote situé sur la bissectrice de l'angle xOy et ayant pour ordonnée y = ± — ^ {J^S"- 3).
151 . On considère un arc infiniment petit AMB d^une courbe plane {fig* 4) î ^^ mène les tangentes à la courbe aux points A et B, et Von projette orthogonalement B en p sur la première tangente, et Ken ol sur la seconde.
Cela posé, on propose de démontrer que Vaire du segment AMB compris entre la corde AB et Varc AMB
est égale au sixième de la somme des aires des triangles ABa et ABp, aux infiniment petits près du cinquième
ordre,
(Paris, juillet i885, 2® question.)
Prenant pour axes coordonnés la tangente et la normale
Fig. 4.
au point A, l'équation de la courbe pourra s'écrire
d'ailleurs, si l'on appelle S l'aire AMB, on a
idS = X dy — y dx = {ax^-h ibx^-i- 3 ex'' -h. , .)dx; d'où, en intégrant,
ax^
bx^
12 S = lax^-i- 3 6 a?* -H
On a encore
2ABP = xy = ax^-^ bx^-^. . ..
Reste à calculer l'aire du triangle ABa-, or on a Ba = 37 008 X -f-j^ sinX, Aa = a7sinX — j'cosX,
2 ABa = Aa x Ba = (x^ — ^^^gi^X cosX -h xy{sin^'k — cos^X
(x^ — y^)taiTïg'k — xy(i — tarig^X) ~" i-t-tang2X
dy^ dx^
OU, en négligeant les infiniment petits du cinquième ordre et remarquant que -j- est du premier,
. , x^iiax -\-'^hx^\ — ax^ — hx^ , , ,
2ABa = — ^^ ; = ax^-\r ibx^-\-, , .:
\-\-{7.ax -\-,. .y
on a donc bien
6S=ABa-t-AB,3,
au cinquième ordre près.
152. Soient u et v deux variables indépendantes j /{u), ç(^) des fonctions données; on considère une surface S dont un point quelconque a pour coordonnées
ix = [/(w)-h v] cosu — f{u) sinuy y= [/(")-+- p] sinw -4-/'(w)cosw, z =cp(p).
I® Démontrer que les projections sur xOy des sections de la surface par des plans parallèles z = const. ont même développée,
2° Démontrer que les normales à la surface S aux différents points de Vune quelconque de ces sections forment une surface développable,
3° Trouver les lignes de courbure et les rayons de courbure principaux en un point quelconque de la surface.
(Agrégation, 1880.)
1° On a généralement
{dx = — {v -^f-^f) %mudu->r co%udv, ( dy = {if -{- f -h f ) cos u du -\- sin u di^ ]
d'où, pour z = const. ou c; = const.,
dy /tt
■—- = — cotM = tangf -
Il en résulte que la normale à la courbe ainsi obtenue fait,
avec Taxe des x^ l'angle u\ or, si l'on considère la courbe G répondant à ç^ = o, on passera de la projection de cette courbe à celle d'une autre ç^ = const., en portant sur sa normale la longueur v : les courbes sont donc parallèles. 2° Les équations (2) fournissent la relation
(3) â?p = t/iP cos w -h û?^ sinw,
d'où
j ^ = cp'((^) cosM, ^ = cp'((;)sin^^; les équations d'une normale quelconque sont donc
X — X -\-{Tj, — Z^^' COSM = o,
Y — y -t- (Z — -s) cp' sin M = o.
La condition pour qu'une surface lieu de ces droites soit développable est
( 5 ) <f (cp' cos u) d{y -^ z rr^' sin u) — <f (cp' sin u) d(x -\- z^' cos w) = o ;
or, si V est constant, il en est de même de z et cp', et l'équation à vérifier se réduit à
cos udx -\- sin u dy = o.
Cette équation est une conséquence de l'équation (3).
On reconnaît aisément que l'équation (5) est encore vér ifiéepour m = const.; elle se réduit, en effet, dans ce cas, à
cos u dy — sin u dx = o,
équation qui est une conséquence des équations (2), dans lesquelles on fait du =; o.
Les lignes de courbure sont donc les lignes de niveau dv =. o et les lignes de plus grande pente rfw = o de la surface.
3° Les rajons de courbure principaux peuvent s'obtenir à l'aide des équations de la normale et du calcul direct de
78 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE Vil.
Z — <2 ; on a
/ 71 / rw X / 7: ûtr -f- P dZ
p = v/i-4-cp'2(Z-^) = /l-hcp'« ^^ ,
ce qui donne, pour les lignes de niveau,
et, pour les lignes de plus grande pente,
153. On considère deux courbes quelconques, C e^ C^ , telles qu^en tout point A de la première la normale principale est parallèle à la tangente au point correspondant A^ de la seconde. Par le point A^ on mène deux droites A^T' et A^B' respectivement parallèles à la tangente AT et à la normale AB au plan osculateur de la courbe G.
Soient, dans le plan des droites A^ ï' et A^ B', un point quelconque^ et une courbe quelconque h^ tous les deux liés invariablement à ces droites; quand le point A^ décrit la courbe C^, /e point P décrit une courbe dont la tangente est constamment normale au plan T'A^ B'. Démontrer cette proposition et en déduire la détermination des deux systèmes de lignes de courbure de la surface engendrée par la courbe L.
(Paris, juillet 1889, 1" question.)
Soient
x^ y^ z les coordonnées du point A ;
oc\i jKn ^\ celles du point A^ ;
^, Tj, î^ celles du point P;
a, j3, Y les cosinus directeurs de la tangente AT;
a, p', y' ceux de la normale principale;
01!'^ P\ y" ceux de la binormale AB à la courbe C ; a et 6 les coordonnées constantes de P relativement aux droites A< T' et A, B'.
On a
Ç = ^1 -f-ay-h by"]
différentiant ces équations, en tenant compte des relations de condition,
^ — a' ?^ - q' ?^ v' dsi ~ ' dsi ~^' ds, ^ ^'
ainsi que des formules de Frenet
dcc ai!
ds R'
d^ P' ds R'
dy i ds R'
doi" a!
ds " H'
ds ~ H'
df __ i ds ~ T'
dans lesquelles R et T désignent les rayons de courbure et de torsion de la courbe G, on obtient les équations
Elles montrent que les cosinus directeurs de la tangente à la courbe lieu des points P sont respectivement a', (3', y, puisqu'ils sont proportionnels à ces quantités, ce qui démontre le théorème.
Appliquant ce résultat aux trajectoires des divers points de la courbe plane L, on reconnaît que les normales à la
8o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII. — QUESTIONS DIVERSES.
surface S engendrée par cette courbe sont les normales mêmes de cette courbe. Les positions successives de la courbe L constituent donc la première série, et les trajectoires des points de cette courbe la seconde série de lignes de courbure de la surface S. Si la courbe L est une circonférence, la surface S est une surface canal.
VARIABLES IMAGINAIRES. 8l
