CHAPITRE VIIL

154. On demande de donner les déterminations multiples de V intégrale d'une fraction rationnelle provenant des divers chemins que Von peut faire décrire à

la variable,

(Paris, novembre i885, i™ question.)

Soient Zq et z les valeurs extrêmes de la variable, L un chemin ne passant par aucun pôle et joignant les deux points ayant comme affixes ces valeurs de la variable, puis A, B, C, ... les résidus correspondant aux pôles a, 6, c, ... de la fonction. Si, partant de Zq, nous parcourons m fois le contour élémentaire du pôle a, n fois celui du pôle 6, etc. , puis enfin la ligne L, la valeur de l'intégrale sera

airj'C^A -t- /iBh-/>G -H. . .)-}- / ,

m^ n^p^ ... étant des entiers quelconques positifs ou négatifs, suivant le sens dans lequel le contour élémentaire correspondant a été parcouru.

Si trois au moins des résidus ne sont pas nuls, on pourra toujours disposer des nombres entiers m, n, ^, de façon que la quantité /nA + /iB+/?G soit une quantité réelle ou imaginaire quelconque, avec telle approximation que Ton voudra; il en résulte que l'intégrale proposée, prise ViLLiB. — Comp. II. 6

entre deux limites données, sera complètement indéterminée tant qu'on laissera arbitraire la loi de succession des valeurs de la variable z entre les deux limites.

15S. Représenter la fonction f{z) = - — — — -— ^ r

par un développement convergent à V intérieur de la couronne formée par les cercles

Les pôles de la fonction sont z = ± i, z= n; ils sont sur les cercles donnés, de sorte que la fonction monodrome f{z) est continue à l'intérieur de la couronne.

On a

le premier terme est développable, suivant la série de ïaylor, à l'intérieur du cercle de rayon 2, et se développe par division

Le théorème de Laurent donne, pour le second terme,

le cercle G" étant concentrique aux deux premiers, compris dans la couronne, mais d'ailleurs quelconque; or les pôles de la fonction à intégrer sont z = ± i, z = o, de sorte que, en appelant [x^, [Xj et |jl3 les résidus correspondants,

Am= ITzi^li-h fA2-t- {X3).

Ces résidus sont d'ailleurs faciles à calculer :

H-1 ~ ,-m-^i « ,• — TT^' [^2 — —

I-h 2 pour m = 2n, ~2 » m = ^n ou m = o, -hi » m = 2/i-Hi, — I » /n = 4^-Hiî

quant à [X3, on a, par division,

de sorte que les valeurs de [X3 sont nulles pour m négatif, et qu'elles sont égales et de signes contraires à celles de la somme [jii+ [x, si m est positif ou nul. On a donc finalement la formule cherchée

156. Soit F(z) une fonction holomorphe de z dans une aire limitée par un contour simple C, contenant à son intérieur les points z = a, z =x. On demande de trouver la valeur de V intégrale

î-rct Jf, {z —

dzj

m étant un entier positif.

(École Normale, 1887, 2® question.)

L'intégrale dont il s'agit est égale à la somme des résidus [Xa: et [ka relatifs aux deux pôles de la fonction contenus dans le contour.

Le pôle z = x étant simple, on a

Le second résidu [x^ s'obtiendra en remplaçant z par a -h h dans la fonction à intégrer, et, en prenant le coef-

ficient de t dans le développement, on a d'abord

et cette expression doit être divisée par h^{a + h — x). Divisant par — [x — a) + A pour obtenir le développement ordonné suivant les puissances croissantes de A, on trouve que le coefficient de h^"^ ou ^a est

- rF(a) -H (a; - a) F\a) ^ (^ - ^)' F\a)->r. . .

-+- F^'w-iUa) ;

on a donc finalement

1 = F(ip) — F(a)— (a? - a) F'(a) - ^^"^^^ F'Ca)— . . .