Evaluer V intégrale

c2 cos2 x-\- d^ sin^ x

(Gaen, novembre 1880.)

La fonction à intégrer admettant tc pour période, Pinte-

VARIABLES I3IAGINAIRES.

grale cherchée est égale à 2 / . Cela posé, considérons la fonction uniforûie méromorphe

c* cos2 z-{- d^ sin* ^ '

ses pôles sont donnés par la formule

taiig^=±i->;

elle en a deux, Zi et — Zt^ situés sur l'axe des y^ et les autres sont fournis par les valeurs de z^

z =àzzi-h kiz;

donc la fonction n'a, à l'intérieur du rectangle ABCD (/Ig- 6), que le pôle simple z^ , soit [x^ le résidu correspon-

Fi£

dant. Comme, en vertu de la périodicité de la fonction, on a évidemment

on a Téquation

d'ailleurs,

enfin, pour intégrer le long de CD, on doit poser<2=a: + ïA, d'où

•^ ^ ^ C^f Qix—h j Q-ix+h \2 ^2 / Qix—h ^-ix+h ^2 '

faisant A = oo et ne conservant que les termes prépondérants, on a

d'où

f{z)dz=J — ^^dx=-TZ

•y ru TT ^

et enfin

a^d^—b^c^ a^^b^~] a^d-hb^c

cd{c 4- d)

L'emploi de variables réelles conduit aussi vite à la solution cherchée. Si l'on remarque que tang»r est continu

quand x varie de à H — > on pourra changer de va-

riable et poser tang^ = m,

I r^^ (a^-hb^u^)du

1 ~~ j^ (c^-hd^u^)(i-i-u^)

r-^^ gg— 62 du Ç'^'^ a'^d^—b^c^ du

^ — ao *^ — 00

ce qui donne le même résultat que précédemment.