Trouver la valeur de V intégrale définie

2F 1= / ç,o\.{x -^ ai) dx ^

a désignant une constante réelle*

(École Normale, juillet 1886, a* question.)

Considérons l'expression cot(.3 + at), et intégrons-la

le long d'un rectangle OABCO, de base OA = - et de

hauteur A =: oo 5 les pôles de la fonction sont donnés par la formule z + a« =A"r:; il n'y en a qu'un seul sur Oy, au point ^ = — a. Si donc nous supposons d'abord a]>o, le rectangle d'intégration ne contiendra aucun pôle et l'intégrale prise suivant le contour sera nulle.

Or, si nous prenons deux éléments correspondants sur les côtés verticaux, nous aurons, pour la somme des intégrales prises suivant AB et CO,

/ jeot — 1-*(<^+^) — 0,01 i{a -{- y)\i dy

J/»oo f [tangi(a-h/) -h coti(<^ -Hj^)]tt(>^

posant e2(a+7)- ^^ cette intégrale devient

D'un autre côté, on a

Jf = — / cot[x-\- i(a-{- h)]dx BC *^

-. — ^ — i:t : 7 idx = I i ax = — 7

d'où l'intégrale cherchée

I = H- log •

Si a était négatif, on emploierait le rectangle de hauteur h= — 00 , qui ne contiendrait aucun pôle de la fonction, et l'on trouverait

I = h log .

Il est plus rapide de procéder par intégration directe; on a

1=1 cot(a7 -+- ai) dx = log sin ( — \- ai j — log sin ai

= log cosai — log sin ai.

Or

smai = i ? cosai = :

si donc a > o, l'argument de sinat est -> et, quand a: varie de o à -> l'argument de sin (a: + ai) diminue de -; quant à son module, il varie de à > ce qui conduit

à la formule précédemment obtenue.