X -{- ia

a étant une constante réelle; on distinguera le cas ou a est positif et celui oà il est négatif.

(Paris, juillet 1887, 2* question.)

IntéfiTons la fonction f(z) = -i—, rr suivant le rec-

tangle ABCDA, dont la base AB a pour extrémités les points et -; l'intégrale suivant CD est nulle, puisque

TZ Tt

- et - 2 2

le sinus est infini.

Comme on a

sin :^-f-t(a4-7) =— sin — ^ +i(aH-JK)J,

il en résulte

*/bc «^a X (^osi(a-^y)

lidy . /** e'^-^ydy

g2ia-»-y)

= 2i(arc tange«-»-r)* = iil arc tange« j ,

ce dernier arc étant compris entre o et - •

Si donc «2 > Oj comme la fonction /(.s) n'a aucun pôle dans le rectangle d'intégration, on aura

I = — 4m arc tange* j = — ^i arc tange-«.

Si, au contraire, a < o, le pôle z = — ai est compris

dans le contour; le résidu correspondant étant l'unité, on

aura

I = 4*arc tange«.

L'intégrale considérée peut encore s'écrire, en faisant X -{-ai= z^

"J sinz "^ J e^^ — e-'^ ou

en posant

Le point u décrit une demi-circonférence limitée par

l'axe des y^ dont le centre est à l'origine et le rayon égal

à e~^\ quant à la fonction à intégrer, elle n'a que les pôles

w = ± I . Intégrant alors suivant la ligne formée par ce

demi-cercle et son diamètre, on aura, si a> o,

. r"'^ dy

d'où

I = — 2i(arc tangy)!^la = — 4^arc tange-«.

Si a<o, le pôle w = i est contenu dans le contour, le résidu correspondant étant i ; on a

I = — ^idivc tange~^-h 2111 = 41^ tare tange*.